竖直平面内“轻绳模型”的运动规律研究

陈玺君

(江苏省丹阳市吕叔湘中学 江苏 镇江 212300；广西师范大学物理科学与技术学院 广西 桂林 541004)

竖直平面内“轻绳模型”的运动规律研究

陈玺君

(江苏省丹阳市吕叔湘中学 江苏 镇江 212300；广西师范大学物理科学与技术学院 广西 桂林 541004)

利用理论研究与“仿真物理实验室”实验验证相结合的方法，研究了竖直平面内的“轻绳模型”这一重要的单轨道模型问题，分析了小球速度、加速度图像和规律，研究得到了小球不能完成完整圆周运动的初速度条件；小球做完整的竖直平面内圆周运动的初速度条件；小球沿圆弧“轨道”返回的初速度条件；小球离开圆弧“轨道”做斜抛运动的最低点初速度条件以及斜抛运动的速度大小和方向；阐述了小球从最低点水平方向出发经圆弧上某点斜抛运动后能返回初始点的初速度条件；并给出落点在最低点(出发点)左右两侧侧圆弧上的初速度条件．

“轻绳模型” “仿真物理实验室” 圆弧“轨道” 速度条件 理论与实验

1 引言

竖直平面内的“轻绳模型”是高中物理圆周运动中一类重要的单轨道模型问题，高中物理一般只涉及圆周运动的最高点和最低点，最多涉及圆水平直径的左边最远点和右边最远点问题以及在最低点给小球一个多大的初速度，小球能够完成完整圆周运动和小球能够完成部分圆周运动．

然而对于小球在竖直平面内做非匀速圆周运动：在小球运动过程中的速度、加速度随时间的变化规律怎样，小球何处脱离圆弧“轨道”，脱离后做什么性质的运动，脱离后落点如何，等等这样一些问题并未涉及．

为了研究以上问题，秉着理论与实验相结合的原则，先从理论上进行研究寻找解决以上问题的方法、公式、规律，然后利用“仿真物理实验室”来模拟和验证理论的正确性．为方便研究，将本实验中各参数设定为小球质量m=1 kg,重力加速度g=9.8 m/s2,绳长R=2 m．

2 题目场景

如图1所示，刚性绳一端系一质量为m的刚性小球，另一端悬挂在固定点上，所有摩擦均不考虑，在最低点A给小球一水平向右的初速度vA，使小球在竖直平面内转动起来，圆弧“轨道”半径为R．

3 研究过程

3.1 小球从A点刚好运动到C点的初速度条件

A→C过程中,由机械能守恒定律知

(1)

vC=0

(2)

由式(1)、(2)可得

(3)

式(3)为小球从A点刚好运动到C点的初速度条件．

然后小球将沿圆弧“轨道”原路返回，做周期性摆动．

将g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(3)得

利用“仿真物理实验室”验证，如图2所示.

图2 仿真验证A到C的条件

轨迹正好半个圆来回摆动，非常完美．

3.2 小球从A点刚好能运动到B点的初速度条件

A→B,小球由机械能守恒定律知

(4)

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

式(6)为小球从A点刚好能运动到B点的初速度条件．

将g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(3)得

利用“仿真物理实验室”验证，如图3所示.

图3 仿真验证A到B的条件

小球刚好完成竖直平面内的完整的圆周运动，理论与实验相吻合．

3.3 小球在CB圆弧上某点P脱离圆弧“轨道”的初速度条件

由式(3)、(6)可知，小球将能通过C点，又不能到达最高点B的速度条件是

(7)

且小球在CB之间某点P处做斜抛运动，脱离圆弧“轨道”．

将g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(7)得

取vA=8.5 m/s代入，利用“仿真物理实验室”验证，如图4所示.

图4 仿真验证在某点脱离圆弧轨道的条件

小球的确在CB之间某点做斜抛运动，脱离圆弧“轨道”，验证成功．

3.4 小球在CB之间某点P处做斜抛运动规律

3.4.1 斜抛运动初速度

设OP的连线与竖直方向的夹角为θ，如图5所示.

图5 斜抛运动

对于小球在P点

(8)

A→P,小球由机械能守恒定律知

(9)

式(8)、(9)联立求解得到

(10)

(11)

式(10)、(11)为小球在CB圆弧“轨道”之间P点脱离圆弧“轨道”的速度(亦为斜抛运动的初速度)大小和方向．

表1给出小球在A点的初速度vA不同的情况下对应的vP脱离圆弧“轨道”的速度大小及方向.

表1 初速度vA不同情况下对应的vP脱离圆弧“轨道”的速度大小及方向

由表中数据可以看出：vA在以下范围内

速度vA越大，vP亦越大，θ越小，即脱离点越高．

取vA=7 m/s，8 m/s，9 m/s，利用“仿真物理实验室”验证，如图6所示.

图6 仿真验证vA与vP的关系

理论与实验完美统一．

3.4.2 小球运动图像

特别取vA=9 m/s进行研究：得到vx-t图、vy-t图、|v|-t图、ax-t图、ay-t图、|a|-t图.

图7

由图可知

(1)小球水平方向的分速度vx先减小再反向增大(圆周运动)后保持不变(绳子拉力为零，只受重力，斜抛水平方向分速度不变)，然后按图做周期性规律变化(落回圆弧“轨道”在“轨道”上来回摆动)．

(2)小球竖直方向的分速度vy先增加后减小(圆周运动)后反向增大(绳子拉力为零，只受重力，斜抛竖直方向分速度先增加后减小)，然后按图做周期性规律变化(落回圆弧“轨道”在“轨道”上来回摆动)．

(3)需要注意的是vx-t图、vy-t图中的拐点并不是斜抛的初始时刻，斜抛的初始时刻在拐点的左边横坐标的某个时刻．

(4)从ax-t图、ay-t图、|a|-t图可看出，小球运动过程中有段时间加速度保持不变，大小为9.8 m/s2，理论分析很容易理解，这段时间小球做斜抛运动，只受重力作用．

下面作|a|-t、|v|-t图像的精细图，如图8所示.

图8

由|a|-t图可以读出拐点g=9.8 m/s2对应的时刻为0.69 s，再读对应的时刻0.69 s的|v|-t可得vP=3.73 m/s左右，在误差允许的范围内，与式(10)计算出来的表格中的速度3.73 m/s大小一致，理论与实验完美统一．

4 小球脱离P点后做斜抛运动规律的更多思考

若要小球脱离P点斜抛运动能落回到原出发点A，对小球的初速度vA有什么要求呢？

分析：P→A，小球做斜抛运动可得

Rsinθ=vPtcosθ

(12)

(13)

由式(12)、(13)消去时间参量t，再将式(10)代入整理可得

(14)

再将式(11)代入式(14)得

(15)

(16)

(17)

整理可得

2y3+3y2-1=0

(18)

(19)

解方程得

(20)

式(20)表明欲使小球从最低点A水平向右出发，经部分圆周运动、斜抛运动后还能落回原出发点A，则须在A处施加的水平速度大小为

代入初始数据

利用“仿真物理实验室”验证,如图9所示.

图9 仿真验证落回到原出发点

理论与实验相统一．

分类总结：

5 结束语

1 漆安慎.普通物理学教程·力学(第二版)学习指导书.北京：高等教育出版社，2009

2017-03-28)