结合函数思想巧解数列问题探究

翟丽娟

摘 要：数列问题是中职数学中的难点，数列与函数之间有着千丝万缕的联系，即数列就是一种特殊的函数。那么，在遇到有关数列类问题时，结合函数思想，就会收获事半功倍的效果。文章从结合函数解析式、结合函数图像特征、结合函数单调性几方面，研究如何结合函数思想巧解数列问题。

关键词：中职数学；函数思想；数列问题；联系

中图分类号：G712；G718.3 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）35-0074-01

数列问题是中职数学中的难点，由于数列中的每一个数都对应一个序号，同样的道理，每个序号也都对应着一个数，因此，数列与函数之间有着千丝万缕的联系。通过多年的教学分析，发现在解决数列问题时，如果能够多从函数的角度出发，学会构造函数，运用函数的观点去研究数列中的数列关系，那么数列问题就会迎刃而解。因此，这就需要教师在教学的过程中，不断地渗透函数思想，教会学生将数列问题函数化，加强两者间的联系，不断积累經验，解题就会更加自如。

一、 结合函数解析式，巧解数列问题

在数列学习中，要知道数列的前n项和公式Sn和通项公式an都是关于自变量n的一个函数，它的定义域就是正整数集N*或者N*的一个非空子集，那么仔细观察函数的解析式，就会发现等差数列的前n项和公式Sn=na1+ d，以及等比数列的前n项和公式Sn= （q≠1）或者Sn=na1（q=1）中，只要令n=0，那么就会有S0=0。

例1： （1）已知等差数列{an}的前n项和Sn=（n+1）2+λ，试求λ的值。（2）已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n+a，试求a的值。

解析：根据题意，学生们拿到题目之后，会利用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2这种常规方法求解，但是由于本题是道填空题，因此，利用S0=0，将会提高解题效率。（1）因为在等差数列{an}中，S0=0，所以（0+1）2+λ=0，故λ=-1；（2）因为在等比数列{an}中，S0=0，所以30+a=0，故a=-1。

点拨：在本道题中，因为是填空题，还有条件已经给出是等差数列或者等比数列，于是我们利用S0=0，更加方便解题，但是需要学生们注意的是，如果没有先前的条件，只是说数列前n项和满足S0=0，那么该数列就未必是等差或者等比数列。

二、 结合函数图像特征，巧解数列问题

函数的图像特征比较能直观地看出函数的信息，因此，在解数列问题时，将对解题起到很大的帮助。学生们需要知道：在公差d不为零的等差数列中，前n项和公式Sn=na1+ d= n2+a1- n是关于n的二次函数，那么点（n，Sn）就在过原点的抛物线y= x2+a1- x上。

例2：在等差数列{an}中，a1<0，Sn为其前n项和，已知S4=S9，当Sn最小时，试求n的值。

解析：根据题意，可知等差数列{an}的公差d>0，那么点（n，Sn）就在过原点且开口向上的抛物线y= x2+a1- x上，于是结合二次函数图形特征，根据其对称性就有对称轴为x= ，又因为n是正整数，所以Sn最小值为S6和S7，因此，当Sn最小时，n的值为6和7。

点拨：本道题结合了二次函数去求解，巧妙化解了数列难题，因此，在等差数列的前n项和Sn的最值问题上，可从Sn的图像以及性质上进行研究，既直观明了，又提高了解题效率。

三、结合函数单调性，巧解数列问题

单调性是研究函数思想的主要方向之一，也是函数思想的主要特征，在求解数列的最值问题中或者已知数列的单调性问题中，学生们如果能够构造函数，利用函数的单调性进行求解，难题就会不攻自破，同时研究函数的单调性将不断强化学生的思维能力，提高学生的思维品质。

例3：已知an= （n∈N*），试求数列{an}的最大项与最小项。

解析：根据题意，可知an= =1+ ，于是令f（x）=1+ （x>0），那么当x∈（0， ）时，f（x）单调递减，并且f（x）<1；当x∈（ ，+∞）时，f（x）单调递减，并且f（x）>1，因此数列{an}满足：当n≤8时，an<1并且an单调递减；当n≥9时，an>1并且an单调递减，故a9>a10>…>1>a1>a2>…>a8，即数列{an}的最大项为a9= ，最小项为a8= 。

点拨：本道数列题从构造函数的角度出发，运用函数的单调性去解决数列的单调性和最值问题，需要注意的是要关注数列{an}中n的取值的特殊性。

四、结束语

总之，学生们在面对数列问题时，要能够首先想到结合函数的思想，运用函数的解析式、图像特征以及函数的单调性去化解数列难题，深刻剖析函数与数列之间的关系，只有掌握了两者间的信息，解起题来才能得心应手，随机应变。

参考文献：

[1]严丽娟.中职数学数列教学的创新思路研究[J].新课程研究，2014（11）.

[2]许景彦.利用函数思想 巧解数列问题[J].石家庄职业技术学院学报，2010（06）.endprint