一道高考创新题的“追根溯源”——抛物线焦点弦长有关结论的拓展及应用

山东省寿光现代中学 陈传璐

一道高考创新题的“追根溯源”
——抛物线焦点弦长有关结论的拓展及应用

山东省寿光现代中学 陈传璐

编者的话:“创新题追根溯源”栏目里的例、习题都非常新颖,有的是原创题,有的是改编题,每一道题都非常注重多解多变。当然,在注重数学阅读的高考大背景下,同学们还要把握核心考点,扩大知识视野,用扎实的基本功应对数学试题的万千变化。

一、对一道高考题的思考

题目 (2 0 1 7年全国Ⅰ卷理1 0)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|A B|+|D E|的最小值为( )。

A.1 6 B.1 4 C.1 2 D.1 0

探究:注意两条弦互相垂直的特征,选两直线的斜率为变量,利用曲线的定义和方程构建弦长之和的目标函数,用均值不等式求最值。设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1的方程为y=k1(x-1)。

借助抛物线的定义构建弦长之和的目标函数,选定方法求最值。

由题设k1k2=-1,依据抛物线定义可知|A B|+|D E|=++++2p=++4=++8≥2+8=1 6,当且仅当=-=1(或-1)时,取等号。

思考:借助定义和方程探究过抛物线焦点互相垂直的两条弦长之和的最值,凸显解析几何的本质属性“用代数的方法研究几何性质”,若能探究出抛物线焦点弦长公式A B =,利用倾斜角之间的关系构建目标函数将会使最值问题的求解多元化和简单化。

二、抛物线焦点弦长有关常用结论

结论:设抛物线y2=2p x(p＞0),p为焦点到准线的距离,θ为过焦点的弦A B的倾斜角,则有:

(1)弦长的端点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标之间的关系:x1x2=y1y2=-p2。

三、抛物线焦点弦长有关结论的应用

例1 (2 0 1 7年辽宁朝阳三校联考)过抛物线y2=4x(p＞0)的焦点作两条互相垂直的弦A B,C D,则+=( )。|

例2 (2 0 1 7年第二次全国大联考新课标Ⅰ卷)已知抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点为F,抛物线上一点P的横坐标为2,|P F|=3。过F且倾斜角为3 0°的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△O A B的面积为____。解法1:用通法构建方程探究面积的定值。由抛物线定义可知|P F|=2+=3,所2以p=2,所以抛物线方程为y2=4x。

例3 (2 0 1 7年四川泸州四诊)过抛物线C:y2=2p x(p＞0)焦点F的直线l与C相交于A,B两点,与C的准线交于点D,若A B =B D ,则直线l的斜率k=( )

图1