高中数学中概率的基本性质

田海慧 湖南省长沙市第一中学

高中数学中概率的基本性质

田海慧 湖南省长沙市第一中学

日常生活中，经常会遇到一些无法事先预料结果的事情，它们被称为随机事件。比如，抛掷一枚硬币，它将正面朝上还是反面朝上、购买本期福利彩票是否能够中奖等，这些事情的结果都有不确定性，是无法预知的，但当我们把随机的事件都放在一起时，它们可能会表现出令人惊讶的规律性。为了研究这种随机事件的规律性，高中数学中引进了概率，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，本人将探讨概率的基本性质。

概率 不可能事件 随机事件

1 事件概念

一般地，我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件。

在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件。

必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件。

在条件S下肯定能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。

2 概率的概念

概率，又称或然率、机会率、机率(几率)或可能性，是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。越接近1，该事件更可能发生；越接近0，则该事件更不可能发生。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。

3 事件的关系与运算

思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：

C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等。你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现它们之间的关系和运算吗？上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？

①显然，如果事件C1发生，则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作

一般地，对于事件A和B，如果事件A发生时，事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）记作B A(或

②如果C1发生，那么事件D1一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作C1=D1。一般地，若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B。

③若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A+B)。

例如，在掷骰子的试验中，事件C1∪C5表示出现1点或5点这个事件，即C1∪C5={出现1点或5点}。

④若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）。

例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4。

⑤若A∩B为不可能事件，即A∩B=φ，那么称事件A与事件B互斥。其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。

⑥若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B有且只有一个发生。在上述试验中，G∩H为不可能事件，G∩H为必然事件，所以G与H互为对立事件。

4 概率的几个基本性质

①由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即

0≤P(A)≤1

②每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为1，从而必然事件的概率为1，如，在掷骰子试验中，由于出现的点数最大是6，因此P(E)=1。

③每次试验中，不可能事件一定不出现，因此他的频率为0，从而不可能事件的概率为0。如，在掷骰子试验中，P(F)=0。

④当事件A与B互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A∪B的频率Fn(A∪B)=Fn(A)+Fn(B)。

由此得到概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)。

⑤特别地，若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)。

随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，随机事件的发生是有规律的，概率就是要寻找这种规律性。

[1]龚先贵,高中数学概率教学研究经营管理者.[J].湖南师范大学,2013(09)

[2]司存瑞,利用概率性质解数学分析问题.[J].陕西教育学院学报,1995（02)