例谈高中数学思想方法的运用

李学东

摘要：数学思想方法是数学知识的精髓，高中数学常用的思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类整合的思想、转化与化归的思想、特殊与一般的思想

关键词：函数与方程；数形结合；分类整合；转化与化归；特殊与一般

数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的催化剂。笔者结合多年的教学经验，以具体的实例来谈谈高中数学思想方法的运用，希望对读者朋友们能有所借鉴。

一、 函数与方程的思想

【例1】已知A（0，1）、B（2，3）抛物线y=x2+mx+2，若抛物线与线段AB相交于两个不同的交点，求实数m的取值范围。

解析：线段AB的方程为y=x+1（0≤x≤2），由已知条件y=x+1

y=x2+mx+2

在[0，2]上有不相等的实数根，消y化为关于x的一元二次方程，由x+1=x2+mx+2，得x2+（m-1）x+1=0.

设函数f（x）=x2+（m-1）x+1则

f-m-12<0

f（0）≥0

f（2）≥0

0<-m-12<2

解得：-32≤m<-1

故实数m的取值范围是：-32，-1

函数与方程思想，就是要找到已知量与未知量之间的等量关系，然后设未知数、列方程或方程组，再解方程或方程组等步骤，从而达到求值目的，函数与方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

这种思想的运用技巧主要有：求变量的取值范围，常常转化为求该函数的值域；通过构造函数，利用函数的性质进行解题。在解题过程中还应注意：要从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一关键变量，把等式看成关于这个主变量（常设为主元）的方程，再具体研究这个方程；数学中常见的如求曲线的交点，函数的值域等问题常常转化为方程问题来解决。

二、 数形结合的思想

【例2】已知实数x，y满足y=9-x2求m=y+3x+1的取值范围。

解析：y=9-x2≥0，变量x，y表示一个半圆，而m=y+3x+1=y-（-3）x-（-1），这与斜率公式结构相吻合，因此我们可以看做动点D（x，y）到定点M（-1，-3）两点连线的斜率，所以我们可以用数形结合的方法来求解。点D（x，y）在半圆y=9-x2≥0上，定点M（-1，-3），所以m=kDM，又已知的半圆与x轴的交点为N（-3，0），Q（-3，0）

kMN=-3-0-1-（-3）=-32，

kMQ=-3-0-1-3=34，结合图形知，所求m的取值范围为：- ，-32∪34，+

数形结合的思想是把数量关系转化为图形的性质，或者是把图像的性质转化为数量关系，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。在运用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要有转化的意识，所以数形结合思想的运用常常偏重于由“数”到“形”的转化。

数形结合的运用技巧主要有：以形助数、以数解形。前者主要体现在如利用曲线方程、直线的斜率、单位圆、两点间距离、点到直线的距离、直线的截距、函数的图像等来解题；后者主要体现在平面解析几何、向量坐标运算、立体几何中空间向量的坐标运算等来解题。

三、 特殊与一般的思想

常用技巧主要有：通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等。

如果同学们能够熟练掌握高中数学的这些基本的思想方法，那么对于解数学题来说，基本上可以“以不变应万变，万变不离其宗”。中國有句古话叫“授人以鱼不如授人以渔”，说的就是这个道理。endprint