大数定律和中心极限定理的思考与应用

陈常琦

摘要：概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科，而统计规律性是通过重复观测来体现，研究极限是对大量的重复观测作数学处理的常用方法。本文将对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科，只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才能呈现出随机现象的统计规律性。

关键词：大数定律；中心极限定理；概率论

概率论中一个非常重要的课题就是大数定律，这还是概率论与数理统计之间一个承前启后的纽带。大数定律阐明了随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算数平均值法则”的基本理论。比如说，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。

一、 大数定律和中心极限定理的概念与关系

（一） 大数定律

大数定律就是在大量的随机试验中，由于各次的随机性（偶然性）相互抵消又相互补偿，因而其平均结果趋于稳定，而阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理。

利用大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性。人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，而大数定律要解决的问题也就是这种稳定性问题如何从理论上给出解释？

不难看出大数定律在理论和实际中都有广泛的应用。

（二） 中心极限定理

自从高斯指出测量误差服从正态分布后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。例如：炮弹的弹落点、人的身高、体重等都服从正态分布。中心极限定理的客观背景：如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用微小，这种随机变量往往近似地服从正态分布。

中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题，其表明了当一个（主导因素除外的）量受许多随机因素的共同影响而随机取值，则它的分布就近似服从正态分布。

（三） 大数定律与中心极限定理的关系

大数定律和中心极限定理统称为极限定理，两者均揭示的是大量随机现象。

关于独立随机变量序列的平均结果的极限，大数定律给出了取平均值的理论依據；中心极限定理则导出了大量独立随机变量之和的极限分布为正态分布。

二、 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用

（一） 在数学分析中的应用

定积分作为新教材中的一大亮点，有着明显的几何意义所在。定积分计算问题一般都可以借助原函数或者利用其几何意义来求解。但是，有些复杂的定积分其几何意义不明显且被积函数的原函数不易求得。那么这时候就可以用到大数定律和中心极限定理了。应用恰当的话这些复杂的定积分就不会再是那么困难了。

在求解无穷级数上大数定律也有很大的作用，它可以提供另一种有趣而且也有用的办法。

伯努利是著名的数学家之一，但是他也曾经被一个在现在已经解决的问题难住了：求自然数倒数平方的级数和。于是伯努利公开征求这个问题的求解方法。

三十年过后，这个问题才得到解决。先是欧拉利用猜度术找出了结果，他是第一个找出答案的，但是自己却不能证明，只能用数据验证。当然，现在有了很多种证明的方法，其中一个就是用大数定律的原理来完成的。

（二） 在近代计算中的应用

中心极限定理反映的是相互独立的随机变量序列的和的极限分布是正态分布的问题。在近代计算中有着举足轻重的地位。

（三） 在保险业中的应用

中心极限定理可以估算和预测一个保险公司的亏盈和是否破产。这是一般计算类的定理所不能做到的。大数定律是建立近代保险业的基础。解释了承保的危险单位越多，损失概率的偏差越小。同样的，承保的危险单位越少，那么它的损失概率的偏差越大。因此，运用大数法则，不但可以估算一个公司的财务，还可以比较精确地预测危险以及合理地拟定保险费率。不难发现在保险业中中心极限定理也充当着重要的角色。

（四） 在企业管理方面的应用

企业管理是一个很麻烦的事。但是大数定律与中心极限定理，企业管理中也有着广泛的应用，它涉及商品订购、电力供应等方面，又为人们解决了一个很头疼的事。

（五） 在数据处理中应用

生活中我们不难发现，应用一些定理可使计算变得简单，减少了计算量。在一些概率数据处理中也常常采用大数定律和中心极限定理。所以说生活中其实我们时不时的在应用这些很能省掉麻烦的程序的定理。大数定律和中心极限定理显然就是一种。

三、 结论

从两者在现实生活中的各方面的应用，我们可以看到大数定律与中心极限定理为促进人类社会和谐又好又快发展有着不可估量的价值。

大数定律与中心极限定理的概论，在如今这个概率论迅速发展的社会下，由它们思想所延伸出的大数定律，无论是我们日常生活中还是工作学习中都多多少少的会应用到。不过什么事物都有两面性，也就是说如果不能很好地利用这些定理，那么就算再简单的计算你也有可能反反复复地计算，而且还可能于事无补，所以要合理恰当地应用。只有这样才能更好地发挥出这些高级定理的伟大作用，而且它们的影响应该还远不止于这些。随着社会计算量的需求，它们越来越多的作用都会被挖掘出来并加以应用。

参考文献：

[1]于进伟，赵舜仁.大数定律与中心极限定理之关系[J].高等数学研究，2001，4（1）：15-17.

[2]拉穷.论独立随机序列的大数定律与中心极限定理及其应用[D].西南交通大学，2007.