一个Finsler-Hadwiger型不等式的加强

郭要红 刘其右

(安徽师范大学数学计算机科学学院 241000)

1 引言

1919年，Weitzenböck提出了如下不等式：[1]

定理1设a,b,c,S分别是△ABC的边长与面积，则

1937年，Finsler和Hadwiger建立了一个更强的不等式如下：[2]

定理2设a,b,c,S分别是△ABC的边长与面积，则

近年来，对Weitzenböck,Finsler-Hadwiger不等式的研究精彩纷呈，文[4]也总结了一系列研究成果，其中有：

定理3设a,b,c,S,r,R分别是△ABC的边长、面积、内接圆半径与外接圆半径，则

(1)

本文对不等式(1)进行加强，得到：

定理4设a,b,c,S,r,R分别是△ABC的边长、面积、内接圆半径与外接圆半径，则

a2+b2+c2-∑(a-b)2

(2)

2 两个引理

为证明不等式(2)，先给出两个引理.

引理1(Blundon不等式)[3]设a,b,c,s,r,R分别是△ABC的边长、半周长、内接圆半径与外接圆半径，则

其中等号当且仅当三角形为正三角形时成立.

引理2设a,b,c,s,r,R分别是△ABC的边长、半周长、内接圆半径与外接圆半径，则

(3)

其中等号当且仅当三角形为正三角形时成立.

证明由引理1知，只要证

由欧拉不等式：R≥2r，只要证

(4)

因为2(R+r)(R-2r)+3r2≥0，而

=4Rr3+r4≥0.

所以，(4)式成立，于是，(3)式成立.从上述证明过程知，(3)式等号当且仅当三角形为正三角形时成立.

3 结论的证明

三式相加，得

应用三角恒等式

a2+b2+c2

利用引理2，有

即

a2+b2+c2-∑(a-b)2

定理4得证.

4 讨论