基于数学任务框架的“立体几何”课堂教学的个案分析

白改平 韩龙淑 褚海峰

(1．浙江师范大学教师教育学院课程与教学论系 321004；2．太原师范学院数学系 030012；3．浙江师范大学行知学院 321004 )

自2003年起，高中数学课程的改革已经走过了十几年的历程，效果如何？教师根据课程的要求建立的任务是否符合学生的认知水平？学生的需求是否得到了满足？若没有，学生的困惑在哪里？带着这些问题本文以“数学任务框架”为研究工具，选择人教版数学必修2“立体几何”中“直线与平面垂直的判定定理”为研究素材，选取了不同高中(普通5所，重点5所)的10节课作为研究案例，通过多课例的比较，研究在课堂教学中不同阶段的数学教师在立体几何的教学中的教学行为，期望以点带面窥视改革成效.

1 研究方法

1.1 研究对象

选择课例 “直线与平面垂直的判定定理”为分析素材，并不是随意的.因为直线与平面垂直的判定定理是立体几何的基本定理，不论课程如何改革，其在整个教学中的地位都是不可动摇的.另一方面，该定理的证明属于高水平认知要求的教学任务，但是现行教科书根据高中数学课程标准的要求，删去了严谨的证明取而代之的是操作确认，从而降低了任务要求，这对于研究学生的需求具有代表性.

1.2 研究方法

研究方法采用美国匹兹堡大学思腾恩博士提出的“数学任务框架”.数学任务是指一个课堂活动的片段, 该活动的目的是用于发展某个特定的数学技能、概念或思想(具体内容如图1所示).

图1 数学任务框架

如图1所示，该框架的核心是一系列影响学生学习结果的数学任务，包括课程呈现的任务、教师在课堂上建立的任务和学生执行的任务，研究内容囊括了教师、学生、教学内容、教学结果等教学过程涉及的诸多因素，涉足范围宽、广、全，研究主线明朗.此外，分析学生学习的结果能够清晰有效地帮助教师审视、检测和反思自己的课堂教学行为，以及为研究者观察和诊断教学问题提供依据和方向.

2 直线与平面垂直的判定定理的数学任务

2.1 课程呈现的任务

课程呈现的任务是指以书面材料形式呈现在教科书和数学课程标准中的任务，诸如问题、实验、探究、思考、建议等.

(1)教科书呈现的任务

《直线与平面垂直的判定》是人教A版必修Ⅱ第二章的内容，主要研究了直线与平面垂直的定义及判定，这里仅对后一个知识点进行研究.对直线与平面垂直的判定定理的探究，教科书在编排上主要呈现了4个任务：

任务1：除定义外，请思考如何判断一条直线和平面垂直？

任务2：操作探究——折纸实验：

任务3：质疑思辨：

任务4：归纳结论

(2)高中数学课程标准呈现的任务

高中数学课程标准对立体几何初步的教学要求是：对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修系列2中将用向量方法加以论证.

2.2 教师建立的任务和学生执行的任务

教师建立的任务是指为实现教学目标，教师在课堂上围绕“做什么”、“怎样做”、“为什么这样做”等设计的一系列任务，如问题、思考、探究、归纳等.学生执行的任务是指学生为了执行教师建立的任务所采取的思考方式.

(1)引入定理环节

教师建立的任务1：思考利用直线和平面垂直的定义直接证明线面垂直的困难在哪里？

生(众)：需要考察平面内的每一条直线与已知直线垂直.

教师建立的任务2：这显然很困难，那能否简化条件寻求到证明线面垂直的新方法？

学生执行的任务：学生沉思

(2)猜想定理环节

策略1：10位教师中有2位建立了如下的任务：

①仔细观察墙角线与地面，你发现了什么？

②瞧，(停顿片刻)墙角线与地面上的这两条相交直线(边说边比划)有什么关系？

学生执行的任务：跟着教师的手势机械地观察.

策略2：10位教师中有6位教师建立了如下任务：

①仔细观察旗杆与地面、书脊与桌面，请问它们的共同特征是什么？

②旗杆与地面、书脊与桌面具有垂直位置关系的条件是什么？

学生执行的任务：操作课本并思考.

策略3：10位教师中还有2位建立了如下的任务：

①如果已知直线与平面内的一条直线垂直，则这条直线与平面垂直吗？请举出例子并画出图形.

学生执行的任务：学生独立思考，举出反例.

②如果已知直线与平面内的两条直线垂直，则这条直线与平面垂直吗？请举出例子并画出图形.

学生执行的任务：学生通过作图举出两条直线平行时的反例.

③如果一条直线与平面内的两条相交直线互相垂直，则这条直线垂直于这个平面吗？请说明理由.

学生执行的任务：同桌讨论，列举实例，获得猜想.

(3)验证定理环节

教师建立的任务：教师布置教材中的折纸实验(教师做了简单的示范)，要求学生做实验并思考下列问题.

问题1：折痕AD与桌面所在平面一定垂直吗？

问题2： 在什么情况下折痕AD与桌面所在的平面一定垂直？

学生执行的任务：学生独立操作，学生间互相观看，不时发出嬉笑声.

(教师巡视，约40秒后有很多学生就完成了任务)

(4)归纳定理环节

教师建立的任务：由上述实验你能准确地归纳结论吗？

学生执行的任务：学生集体回答

(教师补充并板书定理，强调“两条”、“相交”缺一不可)

3 学生的学习结果

学生学习结果是检验教学效果高低的主要依据，需要细化和分析的指标众多、复杂、多重，但鉴于研究目的本文仅就知识与技能掌握情况，以及定理的理解两方面的学习状况进行分析.

(1)知识与技能的掌握情况

10位教师的课堂教学都是按照 “引入命题—猜想命题—验证命题—归纳命题”的过程展开的.4个环节衔接自然流畅，环环相扣，教学过程有序，符合命题教学的一般规律和课程标准的要求.根据学生的课堂表现如回答、课堂练习和课后作业来看，学生们也较好地掌握了知识与技能目标：知道直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决简单的问题.

(2)对定理的理解方面

学生对直线与平面垂直的判定定理所阐述的事实已经纳入到了认知结构中，但是对定理的真实性究竟有什么样的态度呢？为了探究这一问题，在课堂观察的基础上根据任课教师提供的信息，按照数学成绩的优、中、差每班分别抽取5名同学，对10个班级共150名同学进行了一对一的访谈.

表1 学生对定理真实性持有态度的人数和百分比

从表1可以看出，受访者中仅有24%的学生自然地接受了定理所阐述的事实，66%的学生对定理的真实性表现出迷惑、半信半疑的状态，尤其是重点中学的学生.访谈中持怀疑态度的学生普遍提出这样的疑问：数学不是严谨的吗？直观感知和操作实验获得的结论真实可靠吗？这个定理为什么现在不能加以证明？这说明教师按照课程呈现的任务——“直观感知、操作确认”让学生获得新知，大部分学生并不能欣然接受，尤其是学习能力强的学生.

4 研究结果

4.1 在定理引入环节教师建立了高于课程呈现的任务

教师在处理教科书呈现的任务1“除定义外，请思考如何判断一条直线和平面垂直？”时，欣喜地发现教师们设计了高于教科书的如下认知任务:“思考利用直线和平面垂直的定义直接证明线面垂直的困难在哪里？”通过分析引导学生发现“用定义证明线面垂直的不便”，接着提出如下问题“能否简化条件寻求到证明线面垂直的新方法”.在此环节中教师紧紧围绕教科书呈现的数学任务展开讨论，但并没有囿于教材的简单设计，而从数学知识内部发展的需要展开研究，通过一系列的问题不断推动数学任务向纵、深发展，使学生体会到利用定义判断直线和平面垂直已经不方便或不够用了，自然需要寻找更简洁的方法，从而产生探寻新方法的认知需求.整个环节不仅具有研究的味道，有效地提升了数学任务的探究水平，还让学生充分认识到数学发展的动力，体会到了数学的独特魅力.

4.2 在定理猜想环节教师建立了异于课程呈现的任务，任务高低有较大的差异

在定理猜想环节教科书呈现的任务是折纸实验，但是10位教师在教学过程中不谋而合地把这个任务后移到了验证环节，而在此环节教师们根据自己对教学的理解建立了高低不同的任务.

采用策略1的2位年轻教师(教龄分别是3年和2年)建立的两个任务，问题指向太过明确，特别是任务“墙角线与地面上的这两条相交直线有什么关系？”暗示性太强，学生虽然得出了结论，但并没有获得产生这一结论的思维过程和方法，致使猜想失去了其应有的意义，探究也就流于了形式.

采用策略2的6位教师建立的2个任务富有关联，构成一个整体，整个过程连贯性和流畅性比较好.学生通过观察分析旗杆与地面、书脊与桌面，抽象概括出这两个具体情境的共性，从而猜想出线面垂直的判定定理.整个学习过程使学生经历了数学化的过程, 真正参与了“创设情境——提出问题——寻找共性——提出猜想”的科学探究过程, 领会到了科学研究一般方法和精神.

采用策略3的另2位教师建立的4个任务脱离了具体的情境，从数学知识本身出发环环相扣，层层递进,不断激活了学生的思维活动，使学生的大脑内部经过了火热的思考，体验了数学结论的形成过程，经历了“再创造”的过程.此外，在操作过程增加了把实际问题抽象为数学图形的环节，一方面纠正学生的错误，规范立体几何的作图，另一方面使数学课堂具有了数学味.

4.3 在探究或验证定理环节教师建立的任务与课程呈现的任务基本相同

在验证定理环节， 10位教师都是按照教科书呈现的任务“怎样折叠三角形纸片才能使纸片垂直立于桌面”的折纸实验展开探究，但在这个环节的处理上有2种不同的策略：

策略1：教师首先提出课程呈现的任务，接着让学生执行“画三角形—剪三角形——折三角形—展示”等任务.目的是让学生通过动手操作，亲身感悟和验证猜想的真实性和正确性.

策略2：教师首先提出课程呈现的任务，停顿片刻后采用边演示边描述的方式，让学生直观感知猜想的正确性.

策略1和2分别运用了操作实验法和演示法的教学方法，表面上看前者优于后者，但实际上两者都是无意义的机械学习.策略1通过动手操作调动了学生眼、手、口、脑等多种感官系统的参与，有利于学生形象思维和抽象思维的培养和完善，但从认知的深度和学生解决问题的效果来看，这些活动仅停留于实践操作的表层, 对为什么要如此操作以及操作过程中体现哪些思维方法, 缺乏深层次的思考和重视.从课堂观察来看，学生在一片嬉闹声中用时40秒就顺利完成了任务，课堂氛围和学生的表情告诉我们，学生的思维没有经过激烈的碰撞，获取知识没有经历“跳一跳、摘果子”的历程，这说明了教师建立的任务探究价值并不高；策略2的探究方式教师明显越俎代庖了，由于学生对定理的操作很不充分，对判定定理的必要体验并没有建立起来.

4.4 在归纳定理环节教师建立的任务高于课程呈现的任务

在这个环节，教师们除按照教科书呈现的任务归纳了定理外，有7位教师设计了“仔细分析判定定理你能发现研究立体几何的基本方法是什么吗？”的相近问题，这个任务的价值不言而喻，对这节课的教学具有推波助澜的功效.因为数学思想方法是数学知识的精髓和灵魂，是架起知识转化为能力的桥梁和纽带，通过引导学生回顾判定定理让学生掌握研究立体几何问题的基本方法“降维”，完善了学生的认知结构，实现思维能力和创新能力的提升.

5 讨论与建议

上述研究结果表明，教师在定理“引入”、“猜想”、“归纳小结”环节，都建立了高于课程呈现的任务，能围绕课程呈现的任务充分挖掘教材编写意图，以发挥数学的教育价值为准绳，创造性地展开课堂教学，这值得继承和发扬.而在“解释定理真实性”的环节，不论职初教师、经验型教师还是专家型教师，都忠于课程特别是课程标准呈现的任务，以“操作确认”代替了“逻辑证明”.这种现象说明课程标准在教师课堂教学中具有重要地位.但如何评价这种一致性的好与坏，最有说服力的恐怕只有学生学习的结果，而学习结果恰恰与我们的预期存在巨大反差，研究发现作为学习主体的学生，对定理的理解却存在很大困惑，这不得不引起教师和教材编写者深深反思.

教科书根据课程标准对线面垂直的判定定理的要求编写的，这是无可厚非的，因为课程标准是教材编写的依据.但是在具体的教学活动中，教师应在尊重教科书的基础上，立足于学生的已有知识经验、认知水平以及数学的价值，做到入乎其内，出乎其外，创造性地运用教科书，努力保持和创造高认知水平的任务.因为高认知任务有助于发展学生高层次的思维能力.当然并不是说所有的数学任务必须转化为高水平的认知任务，教学才有价值和意义.事实上，按照教学的规律和学生的特点每一种数学任务都有其需要和适合的场所，低认知和高认知的任务应该相辅相成，相得益彰，只有这样才能促进课堂教学的顺利展开和学生数学能力的高效发展.对于“直线与平面垂直判定定理”这节内容，“直观感知”、“操作确认”和“解释这个命题的正确性”都属于低认知水平类型的任务，研究表明这种处理方式确实能够帮助学生建立定理的几何表征，却不能有效促进学生从数学的角度来理解这个定理.鉴于在研究中大部分学生对定理的真实性普遍表现出迷惑、怀疑或半信半疑，数学是一种理性的精神，在教学中教师需要思考这样的问题：本节课在学生已有知识经验、已有能力和方法的范围内能否满足学生的需要？事实上，本定理的证明方法很多，如利用中线长公式、三角形全等和垂直平分线定理以及反证法等.这些方法中总有一种适合于学生认知水平，教师需要对这些方法根据教学对象的情况加以甄别和取舍，就能建立促进学生在“最近发展区”的数学任务，从而帮助学生完成在现有水平基础之上向高认知学习任务的跨越.

数学是一种理性精神，所以从育人的功能和数学特点来看，在教学过程中如果学生经过努力就能完成高水平的认知任务，教师就不应该随意降低任务，而是应该给学生思维和推理搭“脚手架”，不断促进学生对数学的理解，促进学生发挥最大的潜能.[5]