数学拓展知识产生教学“教”什么

龚辉斌

(浙江省义乌市第二中学 322000)

学生在课堂上学习的数学知识，大致上可以区分为两个方面：教材知识和拓展知识．前者指的是教材中给出的知识，包括数学概念及其定义、基本性质和定理、法则等；后者指的是教材中没有写出，但可以从教材知识出发推导而得的数学知识．作为高中核心课程之一，数学学科教学时间长，而教材知识相对有限，拓展知识教学具有现实意义．长期以来，把拓展知识课教成解题课的现象比较普遍．许多教师不重视拓展知识产生过程的教学，或者不懂得如何挖掘拓展知识产生过程蕴涵的育人价值，这种现象值得深思.

以拓展知识的应用为主线开展教学，可以拓广学生的解题范围，提高学生分析和解决数学问题的能力，但它对于学生全面和深刻地理解数学科学，培养学生的创造力意义有限，后者恰恰是数学素养的核心表现．以教材知识为起点，以数学的内在规律为依循，引领学生以类似于数学家的眼光、方法和手段发现、证明和理解拓展知识，可以使学生领悟数学的真谛：新问题是怎么产生的？研究问题的策略和方法是怎么来的？我们应该怎样来把握数学新知识？等，将对学生的自主发展产生深远的影响．我们把这样一个围绕拓展知识产生过程的教学简称为“产生教学”.

具体地，产生教学该“教”什么？借一斑以窥全豹，以一目尽传精神．本文以一个平面向量不等式为例，谈谈笔者的实践和思考．抛砖引玉，与同行交流．

1 教学生从数学概念反映的数量关系角度提出数学问题

师：前面，我们学习了“平面向量”(人教A版数学4(必修)第二章)．今天我们来看看能不能从教材内容出发研究获得一些新知识．为此，首先要确定研究的对象和角度．数学概念是数学的“细胞”，包含着丰富的内涵：不仅指概念个体的涵义，还包括概念之间的内在联系．“平面向量”内容数学概念多，限于篇幅，教材对它们的内在联系揭示不太充分．这些概念大多与运算有关，教材先后定义了向量运算的“加法”概念、“减法”概念、“数乘”概念和“数量积”概念．其中，加法、减法和数量积都发生在两个向量之间．向量的减法是加法的逆运算，可以互相转化．为此，我们不妨聚焦向量的“加法”和“数量积”．非零向量a,b一旦确定，a+b和a·b便跟着确定了，如何研究它们的内在联系呢？

生1：a+b是一个向量，a·b是一个数量，这样两个不同质的量，怎么研究呀？

师：有道理！作为一个向量，a+b具有形和数的双重属性．我们暂且“无视”a+b的形的属性(即“方向”)，而只关注其数的属性(即“大小”)如何？也就是说，我们可以来思考|a+b|与a·b的数量关系．事实上，从数量关系的角度提出研究问题是数学科学的根本特点之一.

评注产生教学从提出数学问题开始．“数学是玩概念的．[1]”教材中的数学概念是产生教学的知识基础，也是提出数学问题的源头活水．数学是研究空间形式和数量关系的科学．从数量关系的角度引导学生探索教材中数学概念的内在联系，契合了数学的特点要求，有助于学生形成科学的数学观.

2 教学生借助理性分析和特例考察提出数学猜想

师：数学发现一般需经历“猜想-证明”的过程．合理的猜想并非一拍脑袋而成的，往往需要一定的理性分析．|a+b|和a·b分别表示什么？

教师启发学生回想有关概念的定义和几何意义．学生回答：|a+b|表示平行四边形一条对角线的长度，a·b表示两条有向线段的长度、它们的夹角的余弦值这三者的乘积.

师：“普遍性寓于特殊性之中”，我们不妨先考察特殊情形．特殊情形的考察有简便、有效的特点，是常用的探索方法.

3 教学生以逻辑为工具证明猜想、建构知识

师：数学发现不能止步于猜想．换言之，你能严格证明上述猜想吗？

从向量的模的计算入手，结合目标分析，师生合作，课堂上产生了两种证法.

评注追求严谨是数学的根本特点．上面的证明教学提高了学生关于向量模的计算技能和演绎推理能力，理性精神也获得提升．正如人教A版数学选修2-2第二章“推理与证明”的章头语所说，“合情推理和演绎推理联系紧密、相辅相成，成为获得数学结论的基本手段．”

师：结合以上证明，我们还可以获得哪些结论？

回顾证法2，学生得到|a|2+|b|2≥2a·b.教师要求学生进一步思考|a+b|与|a|2+|b|2的关系．由于|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b，在不等式|a|2+|b|2≥2a·b的左、右两边同时加上|a|2+|b|2，学生得到2(|a|2+|b|2)≥|a+b|2.

进一步，教师引导学生以-b代替b，得到上述不等式的“姊妹不等式”：

师生一道总结和体会数学知识“繁衍”的两条途径：逻辑推理和形式变换，感受数学知识创造的乐趣.

评注在证明猜想的基础上，教师趁热打铁，通过向学生提出新的要求，引导学生获得系统化的知识．这可以帮助学生更好地把握数学新知识的本质，学会数学知识的构建方法．学生将体会到，数学知识其实“像蘑菇一样成堆生长着的”，有待于我们去发现和采撷．

4 教学生在直观层面理解数学知识

师：美籍数学教育家波利亚说过：“抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见、摸得着．”[2]你能给出上述不等式的直观解释吗？

图1

图2

=|OC|2-|CA|2，

此不等式显然成立，当且仅当|CA|=0，即A与C重合，也就是a=b时取到等号.

对于不等式|a|2+|b|2≥2a·b，

因为a·b=|OA||OB|cos∠AOB

所以它实际上就是|OA|2+|OB|2≥|OA|2+|OB|2-|AB|2．此不等式显然成立，当且仅当|AB|=0，即A与B重合，也就是a=b时取到等号.

对于不等式2(|a|2+|b|2)≥|a+b|2，作以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB(图2)．因为|a|=|OA|，|b|=|AM|，|a+b|=|OM|，所以它实际上就是(|OA|+|AM|)2+(|OA|-|AM|)2≥|OM|2．由于|OA|+|AM|≥|OM|，此不等式显然成立．当且仅当A是线段OM的中点，即A与B重合，也就是a=b时取到等号.

师：从不等式的结构出发，借助数量积的多元表示，我们弄清楚了三个不等式的本来面目：它们不过是数学常识的形式化表示.

学生感受到，量的几何表示是基础，适当的变形很重要，看起来抽象的代数式原来也可以这么浅显和生动！

评注形式化的数学表达具有简洁、准确、深刻的优点，但它容易掩盖数学内容的本质，使学生敬而远之．借助代数量的几何表示，把抽象的数学表达转化为直观的形态，不仅便于知识的记忆，也便于学生对知识的理解和应用．围绕如何单纯用线段长度表示a·b，上面的课堂活动客观上促进了学生对数量积这一教材知识的多角度理解．

5 教学生以辨证思维发展数学知识

学生在独立思考的基础上进行了交流，得到：

考察上文的“姊妹不等式”，学生又得到：

师：数学不等式是静态的存在，但如果我们用动态的眼光、辨证的观点去看待，则不难发现冰冷的外表下灵动的一面．它使我们容易捕捉其中的变化规律，为我们以后灵活和准确地应用它解决数学问题奠定了基础.

评注从运动变化的视角审视和处理数学的量及其关系,是函数思想的精髓，是重要的数学方法论．就不等式来说，其左右两边可以看作两个不同的函数(包括二元函数，三元函数等)．当约定其中一边为常数时，相当于对自变量(或自变量之间的关系)进行了限制，不等式的另一边是该限制条件下的函数．上面的课堂中，教师引领学生以辩证的眼光看待不等式，并获得系列最值结论，对于学生形成用运动变化观点思考问题的自觉，学会“以简驭繁”，具有积极的意义.

6 结束语

教育是指向学生未来发展的事业,数学教育需要长远的目光.同教材知识教学一样，拓展知识教学应该既教数学的显性知识，也教数学的思维方法，更教数学的思想观点．当数学教师把数学知识的隐性价值波澜不惊地融合于学生的知识“再创造”活动，使学生不断感受数学的力量、领悟数学的精神，并且在内心深处爱上数学的时候，也许意味着数学教学离真正的成功不远了．