数列模式化解题策略研究

曹海峰

内容提要：等差数列和等比数列问题一直以来都是高考的热点问题，有时甚至是难点问题。考察的点主要是等差数列、等比数列，以及能转化为等差（比）数列的数列，而学生对此掌握的并不好。故而，对于此处的数列问题，还需对学生进一步强化，掌握解决这样数列问题的方法和技巧，提高其得分率。

关键词：类型；技巧；模式化

类型一.等差数列的判断和证明

例1 [全国大纲卷]数列{ }满足 =1， =2， =2 - +2，

（1）设 = - ，證明{ }是等差数列。

（2）求{ }的通项公式。

解：（1）证明：∵ =2 - +2

= - -（ - ）

= - +2- + =2又 = =2-1=1

{ }是以首项为1，公差为2的等差数列。

（2）由（1）得， =1+2（n-1），即 - =2n-1，

=1， =3， =5，…， - =2n-3，

累加可得 - =1+3+5+…+（2n-3）=

= .

总结反思：等差数列的判断方法

（1）定义法：对于 的任意自然数，验证 - 为同一常数。

（2）等差中项法：验证 = + （ ）成立。

（3）通项公式法：验证 = 。

（4）前n项和公式法：验证 。

在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题和填空题的简单判断。

类型二.等差数列的前n项和最值问题

例2 若等差数列{ }满足 ， ，则当n为何值时，数列{ }的前n项和最大。

解：∵

又∵

当n=8时{ }的前n项和最大。

类型三.等比数列的判定和证明

例3 数列{ }的前n项和为 ， =1， 4 +2，若 = -2 ，求证：{ }为等比数列。

证明：∵ = - =4 +2-4 -2=4 -4

= =2 又∵ = ， =5

= -2 =3

数列{ }是首项为3，公比为2的等比数列。

总结反思：等比数列的判定方法

（1）定义法 若 ，则{ }是等比数列。

（2）等比中项法 ， = 。

（3）通项公式法 。

（4）前n项和公式法 = 。

类型四.特例验证法破解数列问题

例4 已知数列{ }的前n项和为 ， =1， ，求 =（ ）。

A. B. C. D.

解法一：令n=1，则得 ，故 ，而 =2 ，故A错，

，故C错，

，故D错，所以选B。

解法二：∵

数列{ }从第二项起为等比数列。

又∵ 时，

总之，特例验证法就是从题干出发，运用满足题设条件的某些特殊值、特殊角、特殊图像等，对各选项进行检验和推理。

类型五.等差、等比数列的综合运算

例5[湖北高考题]已知等差数列{ }满足： =2，且 ， ， 成等比数列。

（1）求数列{ }的通项公式。

（2）记 为数列{ }的前n项和，是否存在正整数n，使得 ，若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由。

解：（1）设数列{ }公差为d，有

得 或 ，

当 时， =2。

当 时， =4n-2。

数列{ }的通项公式为 =2或 =4n-2。

（2）当 =2， =2n，显然2n<60n+800，

此时不存在正整数n，使得 >60n+800成立。

当 =4n-2时， =

令 >60n+800，即

得 或 （舍去）

此时存在正整数n，使 >60n+800成立，n的最小值为41。

综上，当 =2时，不存在满足题意的n。

当 =4n-2时，存在满足题意的n，最小值为41。

总结反思：解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差（比）数列的项抽出来单独研究，如果两个数列运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解。

总之，数列问题高考难度适中，学生应掌握适当的解题方法和精准的运算，此种题型高考应拿满分，我们还应在三轮复习的过程中加强训练。