关于对p级数敛散性研究的注记

张国利， 杜智慧

(洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳 471934)

关于对p级数敛散性研究的注记

张国利， 杜智慧

(洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳 471934)

对于p级数收敛性，一般教材只给出了其随参数p的收敛性和发散性.本文归纳总结了p级数中当参数p取1, 2, 3时的特殊情况下的研究历史及一般情况下的推广.

p级数；调和级数；巴塞尔问题；阿佩里常数；zeta函数

在p级数的教学过程中，很多教材都只给出了其敛散性的结论，对于各种情况下的敛散性研究过程却没有深入研究，本文尝试对这个问题进行了一些探索.

我们把数项级数

(1)

称为p级数，也称超调和级数. 由积分判别法知， 当p>1时级数(1)收敛，p≤1时级数发散[1].

1 黎曼zeta函数

一般情况下，称

(2)

为黎曼zeta函数，其中s为实部大于1的复数[2]. 由此可知某些情况下(1)是(2)的特例. zeta函数是数学中很重要的函数，它在解析数论中有着极其重要的地位， 尤其是与素数的分布有着密切的联系，它在物理学、概率论和应用统计学中也有广泛应用.当s取值负整数时，欧拉[3]首先证明了此时ζ(s)为有理数，并指出了它在模形式理论中的重要作用.

ζ(s)的一个积分表达式为

当s取正偶数2n时，ζ(2n)有一个简洁的表达式，即

由上式，我们可以计算出ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)、ζ(8)等数值，当s=-n,n为非负整数时，

其中Bn为伯努利数，Bn用生成函数定义为

zeta函数与素数分布的密切关系体现在欧拉发现的恒等式中.

(3)

(3)式右端称为欧拉乘积.由于s=1时，(3)式左端发散，由此可知素数有无穷多个.

1859年，黎曼证明了zeta函数满足黎曼方程

此处Γ(s)表示gamma函数.这个方程将s取负奇整数和正偶整数的zeta函数值联系了起来. 同时，他还提出了ζ(s)的零点分布假设，即著名的黎曼猜想，这也是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一.

2 调和级数

当(2)式中s=1时，称级数

(4)

假设(4)收敛，设其和为S，则

因为对任意的x>1，都有

所以

这就推出了矛盾，所以级数(4)发散.

此后，Honsberger，Leonard Gillman，Cusumano，Ecker等人也各自用不同的方法证明了(4)的发散性[4]. (4)的发散速度是很慢的，计算可得此级数的前1043项之和也不会超过100. 数学家欧拉曾证明(4)的前k项和只有一个对数级的增长速度，进一步，他还证明(4)中的n替换成素数后级数依然发散.

与(4)相关的一个级数是

(5)

称之为交错调和级数，通过莱布尼茨判别法容易证明(5)是收敛的.在1650年Mengoli证明了

上述等式也可以在对数函数ln(1+x)的泰勒级数展开式中令x=1得到.特别地，Hudelson在2010年用图形化的方法无字证明了此结论[5].

3 巴塞尔问题

当(2)式中s=2时，称级数

的求和问题为巴塞尔问题. 这个问题是数论中的一个重要问题，由Mengoli在1644年提出.1735年，年仅28岁的欧拉得到了经典的结果

(6)

并由此在数学界声名大振.欧拉采用的方法如下[6].

由sinx的麦克劳林级数得

(7)

又因为

(8)

由(7) , (8)两式，比较x2的系数得

由此即得(6)式成立.

欧拉在证明的过程中默认(8)式的分解式是唯一的，这是未加证明的结论.事实上，在100年之后数学家维尔斯特拉斯才给出严格证明，称之为维尔斯特拉斯分解定理. 一直到1741年，欧拉才另外给出了一个严格的证明.更多严格的证明可以借助傅里叶级数、复分析和多元函数微积分等知识来给出.1821年，数学家柯西没有借助高等数学知识，仅用一元函数极限等知识给出了这个结论的初等证明[7].

由于

所以要想证明(6)式成立，只需证明

成立，历史上对(6)式的若干证法都是基于上式. 2003年，Robin Chapman总结了证明了(6)式的14余种方法.

正是受欧拉等数学家对此研究工作的影响，数学家黎曼在1859年定义了zeta函数这个非常重要的数学概念， 并给出了这个函数的一些基本性质.

4 阿佩里常数

当(2)式中s=3时，称级数和

(9)

为阿佩里常数，它是数论和特殊函数等交叉学科中一个非常重要的数，在电磁学、量子电动力学和随机最小生成树等数学物理问题中有重要应用.

Apéry在1979年证明了(9)是一个无理数，此证明被称之为Apéry定理.Apéry的证明十分复杂和难懂，Beukers和Zudilin分别在1979和2002年给出了更简洁的证明[8-9]，但是至今为止还不知道(9)是否是一个超越数.

早在1772年，欧拉就给出阿佩里常数的级数表达式

(9)式还有很多经典级数表达式如

等或积分表达式如

许多数学家都试图推广Apéry的方法来证明ζ(2n+1)的无理性.2000年Rivoal 和Tanguy 证明了ζ(2n+1)中有无穷多个无理数.2001年，Wadim 和Zudilin证明了ζ(5)，ζ(7)，ζ(9)，ζ(11)这四个数中至少有一个是无理数[10].

5 结语

在对p级数这一知识点的教学过程中，通过对参数p=1, 2, 3等特殊值的研究过程的讲解以及对相关数学家的介绍，可以使学生加深对这些结论的认识，从而增加学习兴趣，活跃课堂气氛.

[1] Vladimir Z A. Mathematical Analysis I [M]. Germany: Springer, 2004: 96-100.

[2] Edwards H M. Riemann’s Zeta Function[M].American:Dover, 2001.

[3] Dunham W. Euler: The Master of Us All[M]. American:The Mathematical Association of America, 1999.

[4] Steven J. The Harmonic Series Diverges Again and Again[J].The Amatyc Review, 2006, 27: 31-43.

[5] Hudelson, Matt.Proof Without Words:The Alternating Harmonic Series Sums to ln 2[J]. Mathematics Magazine, 2010, 83 (4): 294.

[6] Sandifer, Charles Edward. How Euler Did It[J]. Mathematical Association of America, 2007: 193.

[7] Robin Chapman. Evaluating ζ(2)[EB/OL].2003:http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

[8] Beukers F. A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)[J]. Bull. London Math. Soc, 1979,(11): 268-272.

[9] Zudilin W.An elementary proof of Apery’s theorem[EB/OL].2002: https://arxiv.org/pdf/math/0202159.pdf

[10] Zudilin W. One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational[J]. Russ.Math. Surv, 2001, 56 (4): 774-776.

A Note on the Research of thep-series’ Convergence and Divergence

ZHANG Guo-li, DU Zhi-hui

(College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)

When teaching the convergence and divergence of thep-series, many mathematical analysis textbooks only provide the convergence and divergence with the parameterp. This paper summarizes the research history and the main conclusion whenpis 1, 2 and 3 and their generalizations.

p-series; harmonic series; Basel problem; Apery constant; zeta function

O173

A

1009-4970(2017)11-0022-03

2017-06-08

张国利(1978—), 男， 河南温县人， 讲师.

[责任编辑 胡廷锋]