小干扰稳定约束下联络线输送极限在线估计方法研究*

李文鑫，蔡国伟，杨德友

（东北电力大学电气工程学院，吉林吉林132012）

0 引 言

随着特高压电网的建设，跨区输送功率大、送电距离远，形成大区互联结构，由此带来的小干扰稳定问题严重影响电网的安全稳定运行，小干扰稳定约束下的联络线输送极限已成为保证电网安全运行的重要依据［1-2］。

在负荷高峰期，系统间联络线传输功率容易达到其极值，弱化系统小干扰稳定性，引起弱阻尼模式，有必要在线估测出电力系统小干扰稳定下联络线功率极值，预防电力系统出现弱阻尼模式，以提高电力系统运行的安全稳定性［3-5］。

目前国内外有关区间联络线功率的研究主要集中在联络线功率振荡研究、联络线功率波动理论分析、联络线随机功率波动机制。文献［6］对联络线功率波动最大值进行了理论推导，分析了影响联络线功率波动峰值的相关因素。文献［7］基于冲击功率的分配理论，推导了互联系统在发生功率扰动后联络线功率的变化。文献［8］提出由于功率缺额引起的联络线功率波动的机制，给出影响功率波动峰值大小的关键因素，为互联电力系统的运行方式安排提供理论基础和技术依据。

研究表明Hopf分岔指数在电力系统稳定性分析领域具有很强的适应性。文献［9-10］在深入分析系统重要特征值和Hopf分岔点之间关系的基础上，提出了用于分析电力系统小干扰稳定分析的Hopf分岔指数。现有Hopf分岔指数计算速率较慢，严重影响Hopf分岔指数在系统在线安全评估方面的应用。

为了进一步提高Hopf分岔指数的计算速率，在深入分析系统重要特征值和Hopf分岔点之间的特性关系的基础上，本文提出了基于改进的Hopf分岔指数的电力系统区间联络线极限值评估方法。本文提出的方法在降低了计算矩阵维度的同时，极大提高了计算速率。IEEE4机2区域系统仿真计算结果验证了本文所提方法在联络线功率极值在线估计中的有效性和准确性。

1 Hopf分岔与阻尼水平

1.1 Hopf分岔指数

电力系统的线性化状态方程可以表示为：

式中A为系统状态矩阵。

目前，电力系统中应用最为广泛的为文献［9］和文献［10］提出的Hopf分岔指数。

文献［9］提出的Hopf分岔指数形式如下：

λc＝αc＋jβc为系统 A阵的特征值。

此指数为特征值实部绝对值，可以预测任何一种不稳定现象。

文献［10］提出的Hopf分岔指数形式为：

式中 In为n维单位阵；βc为特征值虚部；σmin为矩阵最小奇异值计算。

1.2 改进的Hopf分岔指数

λc＝αc＋jβc为系统 A的特征值，［vR±j vI］是特征值相应特征向量。

将上式解耦，得到如下等式：

由等式（4）可得出等式（5）：

当系统到达临界状态时，因为特征值实部ac＝0，由于特征向量［vRvI］≠0，因此：

由于矩阵行列式值并不是一个连续值，矩阵行列式值不能作为指数。矩阵的最小奇异值等于其行列式值，用矩阵的最小奇异值［11］代替其行列式值：

可以利用HBI在线监测Hopf分岔。Hopf分岔指数在Hopf分岔点处为零。

由于现代大型电力系统维数n很大，AM矩阵是2n维矩阵，因此HBI的计算量较大，且计算速率较慢。

当A、B、C和D矩阵为可交换矩阵时，以下等式成立：

由于A阵和βcIn矩阵为可交换矩阵，因此等式成立：

定义改进的Hopf分岔指数为Improved Hopf Bifurcation Index（IHBI），则：

文献［10］证明Hopf分岔指数与状态变量之间存在良好的线性关系，因此改进Hopf分岔指数与联络线功率存在良好线性关系。

2 随机子空间辨识算法

在实际应用中，量测数据在时间上都是离散的，经离散采样后，可得如下随机状态空间系统［12］：

其中，xk∈Rn为系统状态量；yk∈Rl为量测到的输出量；wk∈Rn和 vk∈Rl均为假定白噪声；且 E（wk）＝E（vk）＝0分别代表系统状态矩阵和系统输出矩阵；A∈Rn×n和 C∈Rl×n为连续系统矩阵的最重要特征值；Δt为采样时间间隔。

对式（11）所示的随机系统，由采样时序数据组成Hankle矩阵为：

式中i＝2n；n为系统阶数；j为量测量系统采样数。令正交投影所得矩阵为：

计算Oi奇异值分解（SVD）值：

则延伸可观察矩阵Γi和Γi－1可表示为：

利用式（13）、式（14）、式（16）和式（17）可得Kalman滤波状态序列：

式中∴表示相应矩阵的伪逆。

将式（12）、式（18）和式（19）代入式（20）即可计算得到状态矩阵和输出矩阵：

SSI辨识系统算法辨识得到离散状态下系统矩阵Ad。由式（21），从而得到连续状态下系统矩阵A。

在确定离散系统状态矩阵Ad后，对其进行特征值分解［13］：

式中 Λ＝diag（λi）∈Rn×n；λi为离散系统特征值；i＝1，2，…，n；ψ为系统特征向量。

根据离散系统与连续系统的特征值关系，可得连续时间系统特征值：

3 联络线输送极限在线估计

基于SSI理论的小扰动稳定下联络线功率极值在线估计步骤如下所示。首先利用SSI算法对从PDC（Phasor Data Concentrator）中获取的联络线随机波动信号进行计算，得到离散状态矩阵Ad及观测矩阵C。将系统离散状态转变为连续状态，从而得出连续状态下系统矩阵A，并辨识得出A阵的重要特征值。计算得出改进Hopf分岔指数。

在线估计步骤如下所示：

（1）从 PDC（Phasor Data Concentrator）中获取区间联络线随机波动信号；

（2）利用SSI算法对区间联络线随机波动信号进行辨识以得到系统模态参数。SSI辨识得到模态参数中包括离散状态下的系统矩阵和重要特征值；

（3）将SSI辨识得到的离散状态下的系统矩阵和重要特征值转换成连续状态下系统矩阵和重要特征值；

（4）计算得出改进Hopf分岔指数，即为小干扰稳定下联络线功率极值的估计指数；

（5）从PMU相量测量装置中获取联络线功率值，由于改进Hopf分岔指数与联络线功率之间具有良好线性关系，从而估计得出小干扰稳定下联络线功率极值。

联络线输送极限在线估计流程图如图1所示。

图1 联络线功率在线估计流程图Fig.1 Online estimation flow chart of the tie line

4 数字仿真分析

4.1 IEEE4机2区域系统

以IEEE4机2区域系统为例，对本文提出的预测联络线功率极限值的改进Hopf分岔指数法进行仿真分析。IEEE4机2区域系统结构如图2所示，详细系统数据见文献［14］。

图2 4机2区域系统模型图Fig.2 Simulation model of 2-area 4-machine system

利用电力系统综合分析程序（power system analysis software package，PSASP）计算系统基础运行方式下的机电振荡模式，分析结果如表1所示。

表1 4机2区域系统特征值分析结果Tab.1 Characteristic analysis results of four-generator two-area

假设系统节点1和节点2处的发电机有功功率输出每5 s按其基础值的5%增加，直至系统联络线功率达到其极限功率。利用PSAT仿真软件获取系统某一稳定运行状态下，时长为1 min的联络线有功功率时域响应，如图3所示。各时刻联络线有功功率大小及系统区间振荡的特征值分析结果如表2所示。

图3 联络线有功功率时域响应Fig.3 Active power time domain response of tie line

表2 4机2区域系统特征值计算结果Tab.2 Calculation results of characteristic value of 2-area 4-machine system

分析表2可知，随着系统中发电机1和2的有功功率输出不断增加，系统区间联络线有功功率随之不断增加。同时，特征值分析结果表明随着区间联络线有功功率的增加，区间振荡频率基本保持不变，但特征值实部逐渐向虚轴靠近，系统阻尼比不断减小，直至阻尼比减小为零，此时系统联络线有功功率达到其极限值，即IEEE4机2区系统处于Hopf分岔点，此时得到系统联络线功率极值为245 MW。

利用本文提出的方法计算IEEE4机2区域系统改进Hopf分岔指数。首先，以系统联络线率随机响应信号为基础，利用SSI算法辨识系统模态参数，进而利用SSI辨识参数计算得到改进Hopf分岔指数。辨识结果如表3所示，改进Hopf分岔指数计算结果如表4所示。

分析表3可知，SSI辨识得到的系统模态参数与基础运行方式下的值十分接近。进而利用SSI辨识结果计算得到改进Hopf分岔指数，如表4所示。由表4可知，随着区间联络线有功功率的不断增大，IHBI值不断减小，即系统稳定程度不断下降。当IHBI减小为0时，联络线有功功率达到其极限值，此时系统处于Hopf分岔点。系统联络线有功功率极值和特征值实部绝对值、IHBI之间的关系如图4所示。

结合表2和表4分析可知，利用IHBI估算得到的联络线功率极值约为248 MW，与系统特征值计算分析结果得到一致结论，表明本文提出的用于联络线功率极值估算的改进Hopf分岔指数法具有良好的评估效果。

表3 SSI算法辨识结果Tab.3 Identification results using SSI

表4 IHBI计算结果及联络线有功功率极值估计Tab.4 Calculation results of IHBI and the estimation of the active power of the tie line

图4 联络线有功功率-特征值实部-IHBI关系图Fig.4 Online application of eigenvalue real part and IHBI

5 结束语

本文在深入研究Hopf分岔理论基础上提出了改进Hopf分岔指数，用于电力系统联络线功率极值的在线评估。仿真计算与分析表明：

（1）与传统Hopf分岔指数相比，本文提出的改进Hopf分岔指数计算矩阵维数更少，有效提高了计算速率；

（2）本文提出的改进Hopf分岔指数与系统联络线有功功率之间具有良好线性关系，利用IHBI估算系统联络线有功功率极值具有良好的评估效果。

本文提出方法能够准确估计出联络线输送极限，且具有计算过程简单、计算速度快的优点，适于在线应用。