自适应主动振动控制仿真分析

孙文豪，张 锋，罗顺安，汪 涵

（华侨大学 机电及自动化学院，福建 厦门 361021）

自适应主动振动控制仿真分析

孙文豪，张 锋，罗顺安，汪 涵

（华侨大学 机电及自动化学院，福建 厦门 361021）

在FxLMS自适应算法中，次级通道会影响输入信号自相关矩阵的可对角化性和特征值扩散度，从而影响算法的收敛速度。为了降低次级通道对输入信号的影响，加快算法的收敛，提出将改进的FxLMS算法—SOFxLMS算法应用于振动主动控制研究中。在Simulink中分别搭建基于两种算法的主动振动控制仿真结构，基于系统稳定的前提，在相同条件下对两种算法进行仿真对比分析。仿真结果表明：在迭代步长较大、滤波器阶数较少的条件下，SOFxLMS算法具有更好的振动控制效果。

振动与波；自适应算法；主动振动控制；Simulink仿真；次级通道

自适应主动振动控制方法的基本原理是根据传感器获得的振动信号，在结构上直接附加力源(作动器)，并通过自适应控制规律调节，产生一个与振源大小相等、相位相反的振动信号来抵消有害振动[1–2]。由于振动主动控制能有效抑制振动，具有功耗低、自适应性强、计算复杂度低等优点，能弥足被动控制技术的不足，成为近年来振动控制工程领域的热点[3–4]。作为振动主动控制器的核心，控制算法的选择至关重要。而FxLMS算法根据实际情况能够实时适应调整，且不依赖控制目标的频宽大小，成为振动控制领域应用最广泛、最受欢迎的算法之一[5–6]。目前FxLMS算法多侧重于其自身特性的研究及结构改进后的应用。Hansen等分析了时域中影响单输入单输出的FxLMS算法的因素，并提出了相应的解决方案[7]。Chang等提出应用一种基于神经网络的FxLMS算法来控制非线性宽频带噪声，仿真表明所提方法能够有效降低窄频带和非线性宽频带的噪声[8]。Tang等在主动噪声控制研究中，提出应用一种时频域FxLMS算法，与时域FxLMS算法相比，该算法具有更好的收敛性能[9]。李以农等在单级齿轮传动系统振动主动控制的实验研究中，提出应用一种次级通道在线辨识的反馈FxLMS算法，在Simulink中建立了控制算法模块并通过仿真分析验证了所提算法的正确性、有效性[10]。Bo等提出将动量LMS算法应用到FxLMS算法中，得到一种累积加权FxLMS算法，并将该算法应用在窄频带主动噪声控制研究中[11]。Song等针对主动噪声控制研究，采用一种基于FxLMS算法修正的可优化变步长的仿射投影算法，仿真结果证明该算法的收敛速度较改进前得到有效提升[12]。揭伟俊等将FxLMS算法应用于双层隔振系统，并利用Simulink完成了双层隔振系统的振动主动控制仿真，通过合理调节参数，FxLMS算法能明显改进主动控制效果[13]。以上研究虽在提升算法收敛速度和降低稳态误差等方面达到了一定程度的预期效果，但往往以提高算法在结构和计算上的复杂度为代价。本文以提高FxLMS算法的收敛速度和稳定性为目标，同时为了避免改进后算法会大幅增大结构和计算等方面的复杂度，提出将一种改进的SOFxLMS(Self-orthogonalizing Filtered-x least mean square)自适应算法应用于振动主动控制仿真研究中，并对该算法和FxLMS算法的主动振动控制效果进行对比分析。仿真结果表明在滤波器阶数相对较少的大范围内，SOFxLMS算法具有更好的振动控制效果。

1 算法结构

1.1 FxLMS算法

如图1所示，自适应滤波器的权值W主要受FxLMS算法的误差信号e(n)以及经次级通道滤波后的输入信号XS(n)和的影响，初级通道滤波延迟后得到初始振动信号，与此同时，参考信号X(n)经模拟次级通道的模型后得到滤波后的输入信号XS(n)，XS(n)与误差信号e(n)的乘积作为误差梯度的估计值参与到算法的权值迭代过程之中。

图1 FxLMS算法结构框图

N阶FIR滤波器的输出Y(n)等于卷积运算

在仿真中，次级通道可以用M阶FIR滤波器来建模

滤波后的输入信号则为

控制器产生的控制信号等于滤波器与次级通道传递函数的卷积

误差信号e(n)为初始振动信号d(n)与控制器输出的反振动信号YS(n)之和

将式(1)、式(3)、式(4)代入式(5)，可得

其中XS(n)表示输入向量

W(n)用来表示抽头权值向量

在自适应滤波中，均方误差(MSE)被视为应用最广泛的一种目标函数，在线性组合器和FIR滤波器两种情形下，目标函数可以表示为

将均方误差最小化即可得到维纳解w∗，如式(10)所示，其中Rss为输入信号的自相关矩阵，p为期望信号与输入信号的互相关向量。FxLMS算法采用以下方式来更新权值

其中μ是自适应步长，Xs^为利用次级通道S的估计模型，并用来对参考信号进行滤波得到输入信号(Xs^=Xs)。

将式(6)、式(10)代入式(11)中，并对式(11)求期望，可得到等式

ΔW为自适应算法在第n次迭代中自适应滤波器的权值与维纳解之差。

实际上，FxLMS算法是基于最速下降法的一种简化的方法，利用时间Rss和p的平均估计值来代替其精确估计值，而且这种方法的最大缺陷就在于其需要实时搜索Rss和p的值；另外，算法收敛速度的快慢也依赖于自相关矩阵的特征结构。

将相关矩阵Rss进行分解

其中Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，且对角矩阵Λ中的元素与自相关矩阵Rss的特征值相对应。将式(13)代入式(12)中得到如下等式

对上式进行分析，不难发现，算法的最大步长主要受限于自相关矩阵的最大特征值的倒数

1.2 SOFxLMS算法

次级通道的引入会破坏输入信号自相关矩阵的可对角化性，使自相关矩阵的特征值扩散度增大，导致算法的收敛速度降低[14–15]。而当次级通道的脉冲响应系数可知，就可利用次级通道脉冲响应系数降低输入信号自相关矩阵的特征值扩散度来提高算法的收敛速度；通过对输入信号的自相关矩阵进行计算，并利用解相关系数的方法对输入信号进行变换，以实现对FxLMS自适应算法的自正交化，从而得到改进后的SOFxLMS算法。

输入信号的自相关函数为

用矩阵C对可表示为

其中矩阵C为

类比式(14)，将式(19)转换成如下形式

根据式(20)，算法的迭代步长可设定为

不难发现该算法的迭代步长不受次级通道参数影响。

当算法收敛时

根据式(20)进行相应代数运算，可得到如下表达式

其中矩阵O为一个N×1的零向量；不管次级通道的脉冲响应系数的值如何，SOFxLMS算法最终都将收敛于最优解；也就是说矩阵C的引入增加算法收敛速度的同时并不会影响算法的稳定性。

1.3 算法计算复杂度对比

表1为对两种算法计算复杂度的对比分析，通过表中数据的对比可知，FxLMS算法和SOFxLMS算法的计算复杂度分别为N和N2。

表1 算法计算复杂度

2 控制对象动力学模型

为了分析改进前后两种算法应用于振动主动控制中的控制效果，以单级直齿轮传动系统为控制对象，建立相应的动力学分析模型。

首先进行如下假定：齿轮始终绕自身轴线做扭转振动，在垂直于轴线的平面内做平移运动，不存在沿轴线方向的振动；齿轮轮齿啮合模拟为线性时变刚度弹簧和阻尼，忽略齿侧间隙和啮合摩擦力的影响；齿轮轴具有弯曲刚度和阻尼以及扭转刚度和阻尼；系统中阻尼均为黏性阻尼。

在不考虑齿轮偏心的条件下，建立如图2所示的坐标系，在建立的固定坐标系上对直齿轮传动系统进行建模。Oi(i=1,2)为齿轮的理论旋转中心，以两齿轮理论中心的连线方向为x轴方向，坐标轴y轴垂直于x轴；模型中圆为齿轮基圆，啮合线为两齿轮基圆的内公切线；xi、yi(i=1,2)为由于系统振动引起齿轮偏离其理论旋转中心的平移线位移；

图2 齿轮传动系统动力学分析模型

θi(i=1,2)为齿轮旋转角位移折算到圆周扭转方向上的扭转线位移；Cib、Cit、Kib、Kit(i=1,2)为输入轴、输出轴齿轮处轴的弯曲阻尼和刚度，Km、Cm为啮合副的啮合刚度和阻尼，e为齿轮啮合综合误差。

输入齿轮和输出齿轮在径向支承方向上的振动平移线位移x1、y1、x2、y2向啮合线方向上的投影为x1sinα、y1cosα、x2sinα、y2cosα。输入齿轮相对于输出齿轮的相对位移在啮合线方向上的投影为

输入端电动机的运动微分方程为

其中Iin为输入端电动机转动惯量，θin为输入轴轴端电动机旋转角，Tin为电动机驱动力矩。

输入齿轮的运动微分方程为

输出齿轮的运动微分方程为

输出轴轴端负载的运动微分方程为

其中Iout为输出轴轴端负载转动惯量，θout为输出轴轴端旋转角，Tout为输出端负载力矩。

齿轮传动系统矩阵形式的动力学微分方程为

该微分方程中各列阵和矩阵的维数均为8，各量的含义为

m为系统质量矩阵

支承刚度矩阵和啮合刚度矩阵与支承阻尼矩阵和啮合阻尼矩阵结构完全相同，只需替换参数，此处不列举。

3 仿真分析

为了分析两种自适应算法应用于主动振动控制时的控制效果，基于模块化建模的思想[16]，在Simulink中分别搭建基于以上两种算法的主动振动控制的仿真结构，激励源频率为90 Hz、100 Hz和110 Hz、幅值均为1的3个正弦信号和随机信号叠加，作为模拟的初始振动信号，用level-2系统函数建立的算法模块作为仿真控制单元，被控对象为建立的齿轮传动系统动力学模型，控制滤波器阶数N分别设定为50、100及150，算法步长μ分别设为0.01、0.001及0.000 1，采样时间为0.000 1 s，仿真时间为10 s。基于系统稳定的前提，在相同条件下，对两种算法采用相同控制滤波器阶数，用不同的迭代步长进行3组动态仿真，并对比分析两种算法应用于主动振动控制中的控制效果。

3.1 自适应算法时域控制效果

当两种算法的滤波器阶数N=50、迭代步长μ=0.001时，SOFxLMS算法收敛，并在时域内表现出良好的控制效果。而FxLMS算法在迭代步长μ=0.000 1时，算法控制失效，没有产生控制效果，如图3(a)、(b)所示。

增加滤波器阶数至N=100，当步长μ达到0.001时，SOFxLMS算法收敛，也表现出非常好的振动控制效果，而FxLMS算法的迭代步长μ减小至0.000 1时，产生了一定的控制效果，如图4(a)、(b)所示。

继续增加滤波器阶数至N=150，在迭代步长μ=0.001时两种算法都已收敛，但SOFxLMS算法的控制效果较好，而算法迭代步长μ=0.000 1时，FxLMS算法的控制效果要优于SOFxLMS算法，如图5(a)、(b)所示。

由图3、图4、图5对比可知：当算法步长一定时，滤波器阶数由50增至100的过程中，两种自适应算法的振动控制效果都得到了明显的提升，但SOFxLMS算法的收敛性能要比FxLMS算法表现得更出色，同时拥有更好的振动控制效果；当算法的迭代步长μ减小到0.000 1时，滤波器阶数增至150，此时FxLMS算法的振动控制效果要优于SOFxLMS算法；但综合看来SOFxLMS算法表现出较好的整体性能和控制效果。

通过以上分析，可知在滤波器阶数相对较多和迭代步长较小的条件下，FxLMS算法表现出的控制效果要优于SOFxLMS算法；而在逐渐减少滤波器阶数、增大迭代步长的同时，FxLMS算法的性能明显不如SOFxLMS算法，且最终控制效果也明显劣于后者；故在滤波器阶数由少增多的一定范围内，改进后的SOFxLMS算法的综合性能以及在振动控制方面更具有优势。

3.2 自适应算法频域控制效果

通过时域控制效果图可以分析出以上两种算法的控制效果，但为了进一步证明以上两种算法的有效性和在目标频率处所产生的控制效果，对图5(a)、图5(b)进行傅里叶变换得到两种算法在频域内的控制效果图。

图6(a)、图6(b)分别为两种算法在滤波器阶数N=150、迭代步长μ=0.000 1时的振动频域控制效果。

图3 N=50时的振动时域控制效果图

图4 N=100时的振动时域控制效果图

图5 N=150时的振动时域控制效果图

图6 N=150、μ=0.0001时的算法频域控制效果

由图6(a)、图6(b)对比可以看出两种算法在目标频率处的控制效果明显，FxLMS算法在目标频率处的振动衰减分别约为30 dB、28 dB、30 dB，而SOFxLMS算法在目标频率处的振动衰减分别约为13 dB、20 dB、11 dB，因此，利用自适应算法的主动振动控制方案能有效抑制在目标频率处的振动。

4 结语

为了改进振动主动控制研究中控制算法的性能和提高振动控制效果，基于FxLMS算法改进得到SOFxLM算法，通过在Matlab/Simulink搭建基于两种自适应算法的振动控制结构，并对算法的控制性能进行分析，得到以下结论：

(1)在Simulink中进行基于SOFxLMS算法的主动振动控制仿真研究，仿真结果证明了改进的FxLMS算法—SOFxLMS算法的正确性和有效性。

(2)仿真结果表明：在算法迭代步长较大、滤波器阶数较少的一定范围内，SOFxLMS算法的振动控制效果明显优于FxLMS算法；另外，当两种算法都收敛时，目标频率处的振动能得到有效抑制。

(3)当逐渐增加滤波器阶数、减小算法的迭代步长时，FxLMS算法逐渐表现出更好的控制效果和收敛性能。

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SimulationAnalysis ofAdaptiveActive Vibration Control

SUN Wen-hao,ZHANG Feng,LUO Shun-an,WANG Han
(College of Mechanical Engineering andAutomation,Huaqiao University,Xiamen 361021,Fujian China)

In FxLMS adaptive algorithm,secondary path can affect the diagonality of the filtered self-correlation matrix and the divergence of the eigenvalues,causing a slower convergence for the algorithm.In this paper,an improved FxLMS algorithm——SOFxLMS algorithm is proposed to reduce the influence of the secondary path and increase the convergence speed in active vibration control.The active vibration control simulation models based on the plain FxLMS algorithm and SOFxLMS algorithm are set up respectively in Simulink.On the promise of ensuring the stability of the system,the two kinds of algorithms are compared by simulation analysis under the same circumstances.The results show that the SOFxLMS algorithm has better control effect than that of FxLMS algorithm under the conditions of lower order filter and larger iteration step size.

vibration and wave;adaptive algorithm;active vibration control;Simulink simulation;secondary path

TB535；O328

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.06.005

1006-1355(2017)06-0023-06+60

2017-04-19

国家自然科学基金资助项目(51405169)；福建省自然科学基金资助项目(2015J01636)

孙文豪（1993-），男，硕士生，长春市人，主要研究方向为齿轮传动系统振动主动控制研究。E-mail:WilhelmSun@163.com

张锋（1979-），男，博士，硕士生导师，山东省淄博市人，研究方向为齿轮传动系统振动主动控制理论与方法、汽车电子动力学、汽车空气悬架。E-mail:alwaysqing@126.com