数学思想之我见

杨睿

数学教育自周代开始就分离出来，发展到今天，它作为一门重要的必不可少的课程，它是按照一定的目的、要求，为了培养、教育学生而专门编选、专门开设的。在进行数学教育过程中数学思想则是数学教育教学的灵魂，是数学知识的提炼和升华，是知识转化为能力的桥梁。学习数学最终应落实在对数学思想的领悟和掌握上。

我们经常所说的数学思想、数学方法和数学思想方法这几个概念它们不是一回事。具体表现在：数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中高度抽象概括的内容，它蕴含于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中，是数学教学的核心与精髓；数学方法则是提出、分析、处理和解决数学问题所采用的思路、方式、逻辑手段等概括性的策略；对于数学思想方法，则有狭义和广义两种理解，狭义认为数学思想方法是指本身的论证、运算以及应用的思想手段和方法，广义则认为除了上述对象外还应把关于数学（包括概念、理论、方法和形态）的对象、性质、特征、作用及其产生发展规律的认识，也作为自己的研究对象。它们之间既有联系又有区别：数学方法虽然也是理性认识，但其概括性较数学思想弱，其迁移范围不如数学思想广，而数学方法只是提供概括性的策略，但一般不提供解题程序，然而数学思想方法不是数学思想和数学方法的简单机械的合并，他有自己的研究对象，是一个独立的领域，是从整个数学的产生、发展、性质、特征、作用、功能等诸方面探讨的多层次的有规律的一门学问。

数学思想就是数学的本质，是数学教学的灵魂。中学数学教学中最常见的有集合思想、结构思想、对应思想、化归思想、极限思想、优化思想、概率统计思想、符号思想、转换思想、对比思想等等。下面本人就中学数学教学中最重要且最基本的四种数学思想谈谈自己的理解和看法，与读者共勉。

一、数学结构思想

所谓数学结构就是指一个由各种数学转换规律组成的整体。它有三个最基本特征是整体性、转化性和自我调节性。现代数学教学中机构思想是一种最基本的思想。从20世纪30年代起，法国著名数学学派布尔巴基学派用结构思想，把全部数学分别归入三种基本结构：代数结构、序结构和拓扑结构。在中学数学中数学结构思想主要反映了数学知识间的广泛关联性。主要体现有二：一是各种数学模型的建立。表面上毫不相干、甚至互相对立的数学教材，均可以利用数学结构思想联结起来，同意在結构观点之中。譬如，用数学模型法分析整数和分数这两个概念型数学模型，可知它们的关联性表现为它们均是有理数；同时，方法型数学模型“+”、“-”，它们既关联又对立，但可以统一在一起。一些概念型数学模型通过方法型数学模型的具体操作，可以生成结构，例如，“1”通过“+”、“-”可以生成整数结构，等等。二是知识间的相互转换性。一个数学知识通过运算就可以转换为另一个数学知识，如，方程可以作同解变形，代数式可以作恒等变形，几何图形可以从一个位置上通过图形变换到另一个位置上等等。

二、集合思想

集合是构建数学理论大厦的基石，任何一个现代数学的分支都建立在集合的基础之上。集合的概念是由前苏联数学家康托罗维奇在1872年首先提出并使用的。一个概念型数学模型都可以看做一个集合{x|P（x）}，其中P（x）为其内涵，{x|P（x）}为其外延。

常说的数形结合，就是体现了代数和几何两大教学分支集合间的对应关系，例如：函数y=x2 与其图像的的对应，就是集合{f（x）|f（x）= x2 } （代数中的实数对）与集合{（x，y）| y=x2 }（几何中的点）的对应。

从集合的观点来看：常说中的分类讨论法实质上是集合的分类，变化法则是从一个集合把问题转移到另一个集合之中而已；而函数则是两个集合间的一种特殊的对应。因此，使用函数法分析和处理任何数学问题，都离不开集合思想的指导。

三、化归思想

“化归”是指把准备解决的问题或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或轻易就能解决的问题，以求的最终解决问题。化归思想主要体现在运用数学方法处理和解决额问题的过程之中。例如，方程模型、函数模型和不等式等模型的实际应用中就要运用相关的数学模型将实际的特殊问题转化为数学问题，这就体现了实际问题数学化的的化归思想；再利用数形结合法解决数学问题，一般都是在化归思想的指导下进行几何和代数问题之间的相互转化，这也是化归思想的具体体现。

四、对应思想

对应数学思想主要体现在运用数学方法分析问题和解决问题的过程之中。在运用数学模型分析问题和解决问题时，数学模型与其原型之间必然存在着一个对应项；数形结合法则体现了数与形之间的对应；函数则是一种特殊的对应；平面直角坐标系则是平面的任一点与一个有序数对之间的特殊对应等等。

总之，数学思想很多，它都蕴涵于分析、处理和解决各类数学问题的过程之中，它是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，它对数学的解题和研究起着十分重要的指导作用，只有深刻领悟直至掌握这些数学思想才能让我们在数学教育教学中做得更好，更优。endprint