基于湍流脉动压力的波数—频率谱预报流噪声

伍宏亮，周其斗，吕晓军，孟庆昌

1海军工程大学舰船工程系，湖北武汉 430033 2海军工程大学理学院，湖北武汉 430033

基于湍流脉动压力的波数—频率谱预报流噪声

伍宏亮1，周其斗1，吕晓军1，孟庆昌2

1海军工程大学舰船工程系，湖北武汉 430033 2海军工程大学理学院，湖北武汉 430033

［目的］根据Lighthill声类比方程及其发展理论，可以将壁面湍流脉动压力的波数—频率谱作为声源项来预报流噪声，且分析湍流脉动压力的波数—频率谱有助于了解湍流结构的时空关联特性。［方法］以NACA 0012翼型为例，采用大涡模拟（LES）方法进行流场仿真计算，然后通过Fourier变换得到壁面湍流脉动压力波数—频率谱的数值解，并与Corcos的平板湍流边界层脉动压力波数—频率谱模型进行比较；在此基础上，将该波数—频率谱作为声源输入，代入Goldstein版本的声类比方程中预报辐射噪声，并与软件计算的流噪声结果以及Brooks试验拟合结果进行比较。［结果］结果发现：小曲率变化的NACA 0012翼型表面的波数—频率谱具有与平板表面相似的一般特性；在中、低频段采用该方法预报的流噪声结果与Brooks试验结果拟合更好。［结论］所得结果表明开展波数—频率谱研究是有必要的，将其作为主要声源项来预报亚声速下产生的流噪声是合理的。

波数—频率谱；Fourier变换；流噪声；声类比方程

0 引 言

湍流脉动压力是湍流非定常特性的重要表征，也是流体诱发结构振动、产生噪声的重要来源。Corcos［1］最早通过傅里叶变换给出了平板上湍流脉动压力的波数—频率谱模型，目的是了解湍流结构的时空关联特性并为流噪声的声辐射预报提供输入条件。目前，对湍流脉动压力及其波数—频率谱的研究主要是以试验测量和Fourier变换为主要手段，试验研究费时费力，且试验研究的对象不具有一般性。

流噪声是流动中的雷诺应力辐射噪声，可分为气动噪声和水动力噪声，主要由2部分组成：湍流边界层直接辐射噪声和湍流边界层脉动压力激励结构振动产生的辐射噪声。本文将主要讨论湍流边界层直接辐射噪声。关于直接辐射噪声的数值预报方法，总体上可以分为2种：直接法和间接法。直接法是根据全流场控制方程（N-S方程），同时计算非定常流动及其产生的噪声，包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）及非稳雷诺平均法（RANS）等。直接法是最精确的方法，该方法不受流动状态（如低马赫数、高雷诺数）或声源性质等条件的限制，能计算声音的产生与传播，但要求求解区域足够大，至少能完全包括声源区域及近场区域，这就需要巨大的计算资源。间接法是先利用CFD方法计算流场，然后在此基础上用积分或声比拟的方法得到远场噪声级。间接法最基本的假定是忽略声—流耦合，分别计算流场和声场，因而更适用于低马赫数情况。间接法主要包括湍流模型/声类比、离散涡方法/声类比、RANS随机噪声产生模型、粘声分离法、带源项的线性化欧拉方程以及涡声理论等。工程上一般采用间接法，即先用CFD程序（如FLUENT/STAR-CD/CFX/STAR-CCM+/Powerflow等）模拟得到流动声源，然后再通过商业流噪声模拟软件预报流噪声。但商业软件的计算代码不是开源的，且基于气动声学开发的流噪声计算模块是否针对气动特性问题做了适应性调整，求解过程中是否做了近似处理或是否引入了经验参数等问题还无从得知［2］，因而严重制约了水动力噪声预报技术的发展。

目前，在湍流边界层声辐射的问题上，有关理论都是基于Lighthill声类比方程及其发展的考虑固体边界的Curle方程、Ffowcs Williams方程、Hawking方程以及Goldstein声类比积分方程，但对主要的声源机理有各种不同的假设，公认的包括壁面脉动压力的偶极子源、湍流雷诺应力的四极子源以及流体中流入的质量/热量不均匀时产生的单极子源。王超等［3］采用LES与声学无限元方法相耦合的方法对潜艇进行了频域噪声数值预报，认为体声源（四极子声源）在总声级中的贡献相比于面声源（偶极子声源）可以忽略不计。Pan等［4］对刚性光滑平板上充分发展的低马赫数湍流边界层流动噪声进行了研究，并分别讨论了偶极子、四极子声源对流噪声的贡献，发现偶极子产生的脉动主要集中在低频段（＜500 Hz），四极子产生的脉动主要在中、高频段（1 200～2 500 Hz），认为壁面剪切应力（偶极子声源）是湍流边界层直接辐射噪声的主要来源。Ito［5］和 Moritoh等［6］通过大量的实验，揭示出列车运行过程中产生的脉动压力是气动噪声的主要来源。肖友刚和康志成［7］采用LES结合Lighthill-Curle声类比理论预报了列车车头曲面的气动噪声，同样认为低马赫数下的偶极子声源是气动噪声的主要来源，因为偶极子源噪声与马赫数的三次方成正比，而四极子源噪声则与马赫数的五次方成正比，所以在亚声速下相比于偶极子源噪声四极子源噪声可以忽略不计。

本文将以三维机翼为例，在亚声速下仅考虑湍流脉动压力的偶极子源辐射噪声，并以压力谱的形式作为声源输入。主要思路如下：首先，通过CFD仿真计算流场数据，利用Fourier变换建立任意表面湍流脉动压力波数—频率谱的数值解法，然后，将该波数—频率谱作为声源代入Goldstein声类比方程中预报辐射噪声。从理论上来说，该方法应同样适用于水动力噪声的计算。

1 平板的波数—频率谱模型

针对无限大平板上充分发展的湍流层，假设湍流压力场在空间上是均匀的，相对时间是静止的，也就是说，壁面压力脉动的时间—空间相关只依赖于空间距离和时间间隔。在该假设下，Corcos［1］提出了如下壁面压力脉动的波数—频率谱密度模型［8］：

式中：S0(ω0)为壁面上的点压力频率谱；ω0为压力脉动的圆频率，rad/s；和为 A ，B（A ，B 为从试验中得到的无量纲函数）的傅里叶变换；ks和kt分别为流向和展向波数；Uc为对流速度。

Brooks等［9］在足够大的平板上研究了水动力压力场的统计特性，给出如下A和B的试验拟合函数：

式中：β为任意函数的自变量；ζ1和ζ2为可调整的系数，可从试验中得到

将式（2）和式（3）代入式（1），可以获得Brooks版的Corcos谱，如下所示：

其中：

流向和展向的积分尺度l1和l2由下式定义［9］：

如果假定对流速度Uc是常数，将式（2）和式（3）代入式（7），可得到

基于Chase［10］提出的无限大平板上一个点的压力谱，Howe［11］给出了如下无量纲形式：

考虑到攻角α（单位：（°））对压力面和吸力面的影响为

式中：下标“0”代表零攻角；下标“p”代表边界层的压力面；下标“s”代表边界层的吸力面。

图1所示为Corcos［1］提出的无限大平板上湍流脉动压力的波数—频率谱模型。图中：纵坐标Sqq为波数—频率谱的幅值，dB；ksUcω0和ktc0ω0（c0为声速）分别为无因次的流向和展向波数。由于其在不同频率下的一般特征表现一致，而幅值不同，故这里主要进行谱的特性研究，只给出1 200 Hz下的波数—频率谱。由图1（b）可以看出，在 ksUcω0=1时谱出现了尖峰，这与 Howe［11］认为的在某一固定频率下（ω0δ*U＞＞1，U为来流速度）湍流壁面脉动压力的波数—频率谱随流向波数变化的一般特征一致，如图2所示。由图可见，在ks＞0时出现了2个尖峰，最大尖峰出现在“对流区”，绝大多数能量是以特征涡对流速度Uc进行传输。该区域的湍流能量据说存在于对流脊之中。第2个尖峰出现在声学波数κ0附近。以 κ0=ω0c0为中心，k＜| |κ0的范围对应于所谓的“声学区”（其中k是矢量k=(ks，kt)的模数）。

2 Goldstein声学预报方程

在运动坐标系中存在固体边界时，Goldstein［13］用格林函数法研究了其发声问题，得到如下基本控制方程：

图1 Corcos关于无限大平板的波数—频率谱模型（1 200 Hz）Fig.1 Wavenumber-frequency spectrum model on infinite plate of Corcos at frequency of 1 200 Hz

图2 壁面脉动压力谱的特征Fig.2 Characteristics of the wall fluctuating pressure spectrum

式中：S(τ)为不可穿透的固体表面；V(τ)为 S(τ)的外域；T为一相对较大的时间；为等熵流动下Lighthill的应力张量，其中eij为粘性应力张量的(i，j)个分量；fi=-ni(p-p0)+njeij，为流体边界施加的单位面积上力的第i个分量，其中ni为表面S(τ)单位内法线n的第i个分量，p0为稳定流下的压强；ρ0为稳定流下的密度。值得注意的是，这里涉及2种坐标系，固定坐标系和运动坐标系 y(y1，y2，y3) 。为固定坐标系下度量的速度，其中vi为运动坐标系下的速度，δij为Kronecker delta函数。体积排挤项，同样为固定坐标系下的度量值，且满足关系式

在运动坐标系下，式（12）中格林函数的解为

对式（13）进行傅里叶变换，得到频域中的格林函数

若忽略粘性应力eij，并认为在亚声速运动条件下可以不考虑四极子声源的贡献，同时注意到式（12）右边第 3项为非辐射的定常压力［14］，对辐射声压无影响，则式（12）可简化为

式中，ps=(p-p0)，为脉动压力。对式（15）的两边关于时间t取傅氏变换，得到场内任意一点声压的频域公式为

其中，由式（14）的频域格林函数，可得

式中：j为虚数单位；ηs，ηt分别是机翼曲面的流向和展向坐标，如果是平面，则对应的是 y1和 y2（如图3所示坐标系）。

根据式（16）和式（18），求场内任意一点 x的压力功率谱 Spp(x，ω)，得

式中,Sqq(ks，kt，ω) 为源点 y处（壁面）脉动压力的波数—频率谱，并定义HP为辐射传递函数，表达式为

最后，定义场点 x处的辐射声压级如下［14］：

式中：pref为参考声压，取 pref=2×10-5Pa；因子4π一是因为转化为单边谱，二是将频率单位由rad/s转化为了Hz。

3 数值计算模型与结果分析

本文的研究对象为Brooks等［9］研究过的NACA 0012翼型，弦长0.304 8，展长0.475 2，沿着-y1方向以速度U运动，马赫数 M=0.208，带有攻角α=4°。采用对流速度系数cu=0.8。图3所示为数值计算中采用的NACA 0012翼型机翼的吸力面（即上表面）网格，坐标原点取在机翼后缘中点处。如果单元尺度le要求小于声波波长的1/10（这里分析3 000 Hz以下的频率），则单元尺度le≤c0( )

10f=11.5 mm。这里取最大网格尺度8 mm，将该机翼划分成5 720个四边形单元和5 940个节点。图4所示为对应的流场计算域模型，共有1 848 590个节点和1 890 768个六面体单元。

图3 机翼上表面的网格划分Fig.3 Mesh on the upper surface of the airfoil

图4 机翼运动的计算域模型Fig.4 Computational domain model of airfoil motion

为了验证该网格划分的合理性，首先计算该模型上、下表面的平均压力系数分布（图5）：CP=(p-p0)(0.5ρU2)，其中 ρ为气体密度。图5的横坐标为沿流向弦长位置的无因次值X=x c，其中c为弦长。为了与试验结果［15］进行对比，取攻角α=5°，试验中的压力是距机翼表面高度h/c=0.05的测量值，认为近似等于机翼面的压力值。由图5可以看出，仿真结果与试验值基本吻合。

通过流场计算及数据处理，得到机翼表面脉动压力的波数—频率谱［16］，其结果如图6所示。图6（a）和图6（b）为1 000 Hz下压力面的波数—频率谱，图6（c）～图6（f）分别为1 200 Hz下压力面和吸力面的波数—频率谱。由图6（b）和图6（d）可以看出，最大峰值出现在ksUcω0略大于1附近，这是因为存在壁面剪切应力的影响，从而使得波数—频率谱峰值发生了迁移［17］。对比图 6（d）和图6（f）发现，由于存在攻角，压力面和吸力面的波数谱并不对称，压力面的能量高于吸力面。

图5 机翼上、下表面的压力系数分布Fig.5 Pressure coefficient distributions of the upper and lower surface of the airfoil

图6 NACA 0012翼型上波数—频率谱的数值计算结果Fig.6 Numerical results of wavenumber-frequency spectrum on NACA 0012 airfoil

将以上机翼表面脉动压力的波数—频率谱的数值计算结果代入第2节中的声学预报方程中，得到场点（0，0，1.22）处流噪声的辐射声压级。同时，采用声学软件计算得到在相同条件下同一接收点处流噪声的辐射声压级。将两者的结果与Brooks关于NACA 0012模型辐射噪声的试验预报公式进行对比，结果如图7所示。由图所示的软件计算结果与Brooks经验预报结果的对比发现，在1 000 Hz以上频段，声压级间的差值基本控制在8 dB以内；但在低频段，尤其是500 Hz以下时，结果相差较大。而本文基于波数—频率谱的预报结果在500 Hz以下与Brooks经验预报结果吻合较好，在500～3 000 Hz之间与Brooks的经验预报结果间的差值基本控制在6 dB以内。综合发现：与Brooks的经验预报结果相比，在中、低频段，本文给出的基于波数—频率谱预报的流噪声和软件计算结果相比更接近于试验拟合值。

图7 流噪声预报结果的对比Fig.7 Comparison of flow noise with Brooks empirical prediction results

4 结 语

本文基于湍流脉动压力的波数—频率谱，给出了一种预报流噪声的频域方法。与声学软件计算结果以及Brooks试验预报结果的对比发现，该方法与软件计算结果有相同之处，如在500～1 500 Hz内有相同的峰值频率（在500 Hz和1 200 Hz附近）。也有不同之处，如在500 Hz以内与软件计算结果的变化趋势完全不同，但与Brooks经验预报结果的变化趋势基本吻合。总之，本文以NACA 0012翼型为例，将波数—频率谱作为切入点，得到了湍流边界层内壁面脉动压力波数—频率谱的数值解法，从理论上讲其适用于任意形体，不仅拓展了平板的波数—频率谱模型，而且具有一般性。另外，以气动噪声计算为例，基于波数—频率谱和Goldstein声类比方程预报了流噪声，不依赖于声学计算软件，结果表明采用该方法所得预报值在中、低频段与试验值更加吻合。从理论上讲这同样也适用于水动力噪声计算，因此，下一步拟将该方法拓展到不同水下航行器的流噪声计算中。

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Flow noise prediction based on wavenumber-frequency spectrum of turbulent fluctuating pressure

WU Hongliang1，ZHOU Qidou1，LV Xiaojun1，MENG Qingchang2
1 Department of Naval Architecture Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China
2 College of Science，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China

［Objectives］According to the Lighthill acoustic analogy equation and its development theory，it is feasible to analyze the wavenumber-frequency spectrum of turbulent wall pressure fluctuations，then make it an acoustic source in order to predict flow noise.Moreover，the study of the wavenumber-frequency spectrum is useful for understanding the temporal and spatial characteristics of turbulent structures.［Methods］Taking the NACA 0012 airfoil，which was studied by Brooks，as an example，we employ the Large Eddy Simulation（LES）method to calculate the flow field and obtain a numerical solution of the wavenumber-frequency spectrum via the Fourier transform.On this basis，we take the wavenumber-frequency spectrum as an input condition for predicting the radiated noise using the acoustic analogue equation of the Goldstein version.At the same time，acoustic software is used to calculate the flow noise.Comparing these two sets of results with Brooks'empirical formula，the sound pressure level is found to be within the same order of magnitude.［Results］The results show that the spectrum on an airfoil surface with a small curvature change is comparable with the Corcos spectrum model on a flat plate，and their general characteristics are similar.Finally，we conclude that the forecast results of the method in this paper accord better with Brooks'experimental results at low and medium frequencies.［Conclusions］This shows that it is necessary to carry out the study of wavenumber-frequency spectra，and it is reasonable to make it the main sound source in order to predict flow noise produced at subsonic speed.

wavenumber-frequency spectrum；Fourier transform；flow noise；acoustic analogue equation

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.06.006

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20171128.1117.032.html期刊网址：www.ship-research.com

伍宏亮，周其斗，吕晓军，等.基于湍流脉动压力的波数—频率谱预报流噪声［J］.中国舰船研究，2017，12（6）：36-42.

WU H L，ZHOU Q D，LV X J，et al.Flow noise prediction based on wavenumber-frequency spectrum of turbulent fluctuating pressure［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（6）：36-42.

2017-05-03 < class="emphasis_bold"> 网络出版时间：

时间：2017-11-28 11:17

国家自然科学基金资助项目（51309230）；国家部委基金资助项目

伍宏亮，男，1992年生，硕士生。研究方向：船舶水动力噪声。E-mail：1404587678@qq.com

周其斗（通信作者），男，1962年生，教授，博士生导师。研究方向：振动与噪声控制，水动力学。

E-mail：qidou_zhou@126.com