以“本”为本，“一将”统“三军”

李红

同学们在学习二次函数时要熟练掌握基本定义、图像性质，进而能灵活应用，现在的中考题又多是课本例题、习题的变式或延伸，因而同学们尤其应重视对课本的学习.

原题呈现

苏科版《数学》九年级下册第17页例题：画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值.

【分析】要画二次函数一般式y=ax2+bx+c图像，可先将函数表达式变成顶点式y=a（x-h）2+k的形式，由a判断开口方向，顶点为（h，k），对称轴是直线x=h，当x=h时y的最值是k.

解：y=-x2-4x-5=-（x+2）2-1，二次项系数

-1<0，函数图像开口向下，顶点坐标是（-2，

-1），对称轴是直线x=-2，二次函数y=-x2-4x-5图像如图1.

【点评】本题考查的是二次函数的基础知识，解题关键是二次函数形式的转化.

延展一 不画图像，判断二次函数y=-x2

-4x-5的图像与x轴是否有公共点.

【分析】当y=0时，抛物线y=ax2+bx+c转化为一元二次方程ax2+bx+c=0，所以通过判断Δ=b2-4ac与0的大小，可以确定抛物线与x轴的公共点个数：（1）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点（一元二次方程有两个不相等的实数根）；（2）b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点（一元二次方程有两个相等的实数根）；（3）b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点（一元二次方程没有实数根）.

解：b2-4ac=（-4）2-4×（-1）×（-5）<0，所以方程-x2-4x-5=0没有实数根，二次函数y=-x2

-4x-5的图像与x轴没有公共点.

延展二 抛物线y1=-x2-4x-5与直线y2=

-x-5交于（x1，y1）、（x2，y2）两点，求y1>y2时x的范围.

【分析】求直线与抛物线交点的坐标，实质是求两个函数的解析式联立的方程组的解，画出圖像，根据图像可以直接写出范围.要求y1>y2时x的范围，即为函数y1的图像在y2图像上方的部分的x的范围，反之亦然.

解：方程组[y=-x2-4x-5，y=-x-5]的解为[x1=-3，y1=-2，][x2=0，y2=-5.]

两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图2，当y1>y2时，x的范围是-3

延展三 将二次函数y=-x2-4x-5的图像向上平移5个单位，向右平移3个单位后与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，对称轴上是否存在点P，使PA+PC最小.

【分析】求平移后函数图像与坐标轴交点的坐标，首先要求平移后函数的解析式，一般先化成顶点式，再按上（+）下（-），左（+）右（-）方式写出平移后的解析式，令x=0或y=0代入可求.线段和（或差）的最值问题，利用两点之间线段最短，找对称点解决.

解：因为平移后抛物线y=-（x-1）2+4，当y=0时，x1=3，x2=-1；当x=0时，y=3，所以A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）.连接BC交对称轴x=1于点P，因为A、B关于对称轴对称，则P为求作的点，所以PA+PC=PB+PC=BC=[32].

延展四 Q为直线BC上方的抛物线y=

-（x-1）2+4上任意一点，求△BCQ面积的最大值及此时Q点的坐标.

【分析】在平面直角坐标系中研究一些图形面积时，可采用割补法将复杂、不规则的图形分割成若干个三角形计算.分割方法一般采用横向或纵向比较容易计算.

解：过Q作x轴垂线交直线BC于点M.

设直线BC的解析式为y=kx+b，则有[k=-1，b=3，]故直线BC的解析式为y=-x+3.

设Q点的横坐标是m，得Q（m，-m2+2m+3），M（m，-m+3），所以QM=-m2+3m（0

S△BQC=S△QMC+S△QMB=[12]QM·OB=[12]（-m2+3m）·3=[-32]（m-[32]）2+[278]，所以当m=[32]时，△BCQ的最大面积是[278]，此时Q的坐标为（[32]，[154]）.

（作者单位：江苏省宿迁市湖滨新区实验中学）