二次函数与三角形的综合性问题

刘从凯

二次函数是初中数学知识结构的一个枢纽，在中考中占举足轻重的地位，二次函数综合题更成了历年来各省市中考试题中常见的重要题型.今天让我们一起来领略二次函数与三角形的综合题在中考中的风采吧！

一、二次函数与直角三角形

例1 （2017·徐州）已知二次函数y=[49]x2-4的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为[5]，P为⊙C上一动点.

（1）点B，C的坐标分别为B（ ），C（ ）；

（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）令y=0，則x=±3，令x=0，则y=-4，∴B（3，0），C（0，-4）.

（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形.

①当PB与⊙C相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，

∵OB=3，OC=4，∴BC=5，

∵CP2⊥BP2，CP2=[5]，∴BP2=[25]，

过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，

则△CP2F∽△BP2E，相似比为1∶2，

设OF=P2E=2x，则OE=FP2=x，

∴[BECF]=[3-x2x-4]=2，∴x=[115]，

∴P2（[115]，[-225]），

过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，

同理求得P1（-1，-2）.

②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，

如图2，过P4作P4H⊥y轴于H，

则△BOC∽△CHP4，

∴[CHOB]=[P4HOC]=[P4CBC]=[55]，

可得P4（[455]，[-355]-4），

同理P3（[-455]，[355]-4）.

【点评】第（2）问要根据直角顶点进行分类讨论，当点P为直角顶点时，PB与⊙C相切，当点C为直角顶点时，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

二、二次函数与等腰三角形

例2 （2017·南宁）如图3，抛物线y=ax2-[23]ax-9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标.

【解析】（1）∵C（0，3），

∴-9a=3，解得：a=[-13].

令y=0可得：点A（[-3]，0），B（[33]，0）.

抛物线的对称轴为x=[3].

（2）∵OA=[3]，OC=3，∴∠CAO=60°.

∵AE为∠BAC的平分线，

∴∠DAO=30°，∴DO=1.

设点P的坐标为（[3]，a）.

依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a-1）2.

当AD=PA时，4=12+a2，方程无解；

当AD=DP时，4=3+（a-1）2，解得a=2或a=0；

当AP=DP时，12+a2=3+（a-1）2，解得a=-4.

∴点P（[3]，2）或（[3]，0）或（[3]，-4）.

【点评】在问题（1）中要注意待定系数法的应用，分类讨论是解答问题（2）的关键.

三、二次函数与相似三角形

例3 （2017·海南）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）.

（1）求该抛物线所对应的函数解析式.

（2）该抛物线与直线y=[35]x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图4，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），

∴该抛物线解析式为y=[35]x2-[185]x+3.

（2）存在.∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴当△CNQ与△PBM相似时，有[NQCQ]=[PMBM]或[NQCQ]=[BMPM]两种情况，

设N（t，[35]t+3），P（t，[35]t2-[185]t+3），

∴CQ=t，NQ=[35]t，∴BM=5-t，

PM=[35t2-185t+3]=[-35t2+185t-3]，

当[NQCQ]=[PMBM]时，解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，[-95]）；

当[NQCQ]=[BMPM]时，解得t=[349]或t=5（舍去），此时P（[349]，[-5527]）.

【点评】在（1）中我们要注意待定系数法的应用；在（2）中我们利用P、N点坐标，可以分别表示出线段的长，利用相似三角形的性质确定出相应线段的比，从而列出方程求解即可.要注意当两相似三角形有一组角对应相等的时候，需分两种情况进行讨论.

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）endprint