培养小学一年级学生数感的探索与反思

徐丹

【摘要】良好的数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。本文介绍培养小学生数感的三种做法：在具体数学情境的数数中建立数感、在不断联系的运算中发展数感、在解决实际问题中增强数感。

【关键词】数感 实践 思考 数量关系

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）09A-0075-03

数感主要是指关于数量、数量关系，运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。数感好的学生，主要表现为在运算中不拘泥于运用计算法则或公式进行计算，而是能够根据数的特征，灵活地选取计算策略。

教师对数感一词并不陌生，但对数感的培养却存在认识上的缺失：其一，认为数感培养是某些课的教学目标；其二，重知识技能落实轻数学素养的发展。

实际上，培养学生数感是一个长期积累的过程，学生的数感在入学前已经萌芽，需要教师充分挖掘教学资源，对教材资源进行重组与拓展，精心设计教学环节引导学生的思维，在日常教学中帮助学生建立数感、发展数感、增强数感。

一、在具体数学情境的数数中建立数感

数是抽象的数学符号，一年级的学生对数的认识依托于具体的情境。比如说数字“2”，学生头脑中可能会出现2颗糖果，2枝铅笔，也可能是3个小朋友走掉了1个还剩2个等具体情境。一年级学生的思维方式以具体直观的形象思维为主，他们在具体的生活情境中比较容易理解数的含义以及数与数之间的关系。学生认识数的过程离不开数数。数数是一项内涵丰富的数学活动，它可以体现学生对数的顺序、数与数之间关系的理解。数学教学可以在学生原有生活经验的基础上，选择特定的数学情境，让学生在有趣的数数活动中建立数感。

（一）实物情境图

数学源于生活，生活中的很多情境都值得用数学的眼光进行观察和分析。在数数活动中，选取恰当的生活情境，有助于学生体会到数数方法的多样性，以及选择合适的数数方法的必要性和简便性。要让学生看到一幅图就能立刻对数数策略做出恰当的选择，依靠的是对数的直觉反应，即学生的大脑已经能够做出无意识的反应。

1.先圈出10只，再接着数。

上述三幅图都出现在人教版一年级上册《11～20各数的认识》课后练习十七，要求学生数出图中物品的数量。图中物品的呈现方式是不一样的，所需要的数数策略也有所不同。学生对数的认识从一位数扩展到了两位数，数变大了，同时还产生了位值的概念。这是让学生初步感受数数策略，建立直觉性数感的好时机。笔者在教学过程中设计了如下环节：

师：老师这里有三幅图，比一比，谁能又快又准确地数出图中物品的数量。

（学生独立数数，老师巡视）

师：说一说每一幅图你是怎么数的。

生1：第一幅图的蜜蜂有点乱，我是1只1只边做记号边数的，一共是14只。

生2：第二幅圖拖鞋一双一双地摆，我是2，4，6……这样2个2个数的，一共是12只。香蕉是5根一柄，我是5、10、15、20这样5个5个数的，一共20根。

生3：第三幅图我是看一包书上面写着10本，旁边还有2本，一个“十”和2个“一”合起来就是12本，数笔的方法也一样。

师：小朋友们真会观察，数数的方法有很多，可以1个1个数，2个2个数，5个5个数……也可以分别数出几个“十”和几个“一”再合起来。根据不同的图选择合适的数数方法，就能数得又快又准确。

同样是数数，不同的情境图可以选择不同的数数方法，教学中教师巧妙地将练习中的几道题进行整合，让学生在对比中做出合理的选择，学会举一反三。通过长期的积累，学生头脑中建立了很多数数方法的模型，一旦遇到类似情况就能做出直觉反应。这是学生数感建立的重要标志。

（二）变化几何图

数与形是数学中两个最基本的研究对象，数可以使形的表达更精确，形可以使数量关系的表达更清晰。在一年级的数学教学中，将抽象的数与几何图形的拼组相结合，学生的数数伴随着空间想象，每个孩子的观察角度有所不同，数数方法也不一样。学生的数数方法都有明显的个体性特征。

如图四，数图中灰色的三角形数量，有的学生是一行一行地往下数，每一行都是前一行的基础上加1个，第四个图形就是“1+2+3+4”个；有的学生斜着观察，第四个图形就是“4+3+2+1”个。如图五，有的学生是从每行和每列的数量变化进行观察的，接下去应该是五行五列，可以5个5个快速数出是25；有的学生是对前后两个图进行重叠式的对比，发现每次都多了一行和一列（行与列有一个重叠），接下去就是“16+9=25”个。

让变化的几何图作为数学情境，能够促使学生通过观察和对比形的变化来感知数量的变化，认识到数数不一定是几个几个数，也可以遵循一定规律变化着数，数数的方法更多样了。在数数中，学生学会了观察，逐渐建立直觉的、个体性的数感。

二、在不断联系的运算中发展数感

一年级数学教材遵循从小到大、由易到难的教学原则，以10、20、100作为分界点，让学生循序渐进地认识数，以及学习加减法运算。教材按照运算的复杂程度，每次都是先学不进位加法和不退位减法，再学进位加法和退位减法；不论数有多大，加减法运算遵循的都是位值和十进制等数学法则。教材这样安排遵循学生身心发展规律，便于学生循序渐进地掌握运算法则，但是也容易使学生在头脑中将加减法运算割裂成一个个独立的部分，从而导致在计算过程中只会依赖运算法则进行机械的运算，而不能根据数字的特征寻求简便的运算方法，不利于学生发展数感。因此，教师在教学中要整体把握运算教学的目标，借助体现数量关系的图沟通不同运算之间的关联，通过设计开放性的计算练习建立关联数字组，通过开展发散性的转换训练实现式与式的关联，从而发展学生的数感。endprint

（一）借助直观图建立关系模型

每一种运算都不是孤立存在的，彼此之间存在内在逻辑联系。一年级数学涉及的加法和减法之间是互逆关系。在计算20以内退位减法时用想加做减法可以快速地计算出得数，如计算12-9=（ ），只要想9+（ ）=12就能算出结果。一年级学生刚刚学习加法和减法，有必要在教学中及时沟通加法和减法之间的关系。抽象的内在联系可以借助体现数量关系的直观图来沟通，在学生头脑中建立加减法关系的模型，发展学生的数感。

在教学“6、7的加减法”时，学生学习了“一图四式”（人教版一年级上册P42，根据一幅图写出两道加法算式和两道减法算式），这时再引入表示数量关系的图，就能使学生在脑海中建立加减法关系的图像模型，为运用加减法之间的关系进行运算奠定基础。

师（出示6个正方形）：涂一涂，将6个正方形分成2个部分，你打算涂几个（见图六）？

生1：涂4个。

师：（根据学生的回答出示图七），揭示“6”可以分成“4”和“2”，看图你能写出哪些算式？

生：4+2=6，2+4=6，6-2=4，6-4=2。

师：图中老师能找到算式中的“4”和“2”，“6”表示什么意思呢？

生：“6”是总共有6个正方形。

师：（出示图八）这样可以更清楚地看出6、4、2这三个数之间的关系。

师：（出示图九）现在你还能看出这三个数之间的关系吗？

生：能。

师：（出示图十）你能根据这幅图来写一写算式吗？

生：△+☆=10，☆+△=10，10-△=☆，10-☆=△。

学生头脑中有了图十这样直观的图像模型，数与数之间的关系一目了然，而数与数之间关系的不同表达式就是加法与减法之间数量关系的转换。学生根本不需要去记“加数=和-加数”“减数=被减数-差”等这些枯燥的表达式就能运用自如，数感在这样的联系中得到发展。

（二）借助开放性式题建立关联数组

“20以内退位减法”在减法计算教学中占有举足轻重的地位，20以内退位减法的熟练程度直接影响到今后多位数减法的计算正确率。很多教师认为，熟能生巧，因而试图通过不断的强化训练来提高学生的计算正确率，但是实际上学生的数感并没有在重复的机械训练中获得发展。在学习“20以内退位减法”时，教材介绍了三种计算方法，如“12-9”：个位上“2-9”不够减，可以采用破十法，直接用“10-9=1”，再算“1+2=3”；也可以采用连减法“12-2-7=3”；还可以采用想加算减法，想“9+（3）=12”，那么“12-9=3”。学生能够理解算理，也能够运用这些算法进行计算，但是这几种算法都需要几个步骤，学生在口算时要想好几个步骤，想达到一定的速度和正确率颇有难度。根据退位减法的算理，我们可以设计开放性式题，让学生在填写式题时巩固算法，同时又能关注数字本身的特征，在头脑中建立一些相关联的数字组，在计算中加以运用，从而发展数感。

师：（出示式题□-7=□，见图十一）给大家2分钟时间，看谁填出的算式多。

师：同学们都能够有顺序地思考。观察这些算式，你有什么发现？

生1：被减数一个一个地增加，差也一个一个地增加。

生2：有些是不退位减法，有些是退位减法。

生3：被减数的个位和差都相差3。

师：你知道为什么会相差3吗？

生4：我想这是破十法中的3，比如11-7，先算10-7=3，再算3+1=4。

（其他学生按照这个思路去观察，发现如果用破十法去计算，都会先算“10-7=3”）

片段四：

师：（出示式题二 □-□=7，见图十二）给大家2分钟时间，看谁写的算式多。

师：同学们都能够有顺序地思考。观察这些算式，你有什么发现？

生1：被减数一个一个地增加，减数也一个一个地增加。

生2：被减数的个位比减数小3。

師：你知道为什么会相差3吗？

生3：比如11-4，我们用连减法，把4分成1和3，11-1=10，10-3=7。

（其他学生按照这样的思路去观察，发现减数都可以分成被减数的个位数字和3，这样连减的第二步算的都是“10-3=7”）

上述两个式题中的已知数都是“7”，不论“7”是差还是减数，学生发现计算中都会用到“10-7=3”或者“10-3=7”。在有关“7”的减法中，学生会习惯性地将“3”与之进行联系，形成一种思维习惯，这便是一种数感。填数练习还可以进一步扩展，如□-□=6与□-6=□，学生会发现“6”与“4”的密切关系。这样的填数练习，既是对20以内减法的巩固，又能让学生跳出算法本身的桎梏，关注到数字本身，在头脑中建立一组组相关联的数字，如“7”与“3”，“6”与“4”。在今后更复杂的运算中，学生如果将数字的这种关联性进行运用，就会使得数感在运算中不断发展。

（三）借助发散性的转换建立式与式的关联

运算教学螺旋上升，学生并不是不断学习新的算法，而是不断地将新的运算转化成已经学过的运算。如一年级100以内进位加法可以转化成20以内进位加法来计算，今后要学的多位数加法可以转换成100以内加法进行计算等。转换的方式具有多样性，如在计算“24+9”就有多种转换方法：方法一，先算“4+9=13”，再算“20+13=33”；方法二，先算“24+6=30”，再算“30+3=33”；方法三，先算“29+1=30”，再算“30+3=33”；方法四，“24+10=34，34-1=33”等。这些算法都将进位加法进行拆分和重组，都是建立在很多已知算式的基础之上进行计算的。开展发散性的转换训练，让学生将一个算式进行多角度的转换，有助于学生建立算式之间的关联，在复杂的计算中灵活选用算法，提高计算的速度和正确率，发展数感。

在不改变运算结果的前提下，学生根据数字之间的关系，不断变换观察角度，将比较复杂的计算转换成简单的心算（如图十三、十四）。转换训练可以由学生独立完成，训练学生的思维广度；也可以由一个学习小组成员共同完成，分享彼此的成果。在不断求异的转换中，学生对数与数之间的关系有了更敏锐的感觉，并把这种感觉应用于式的运算中，建立式与式的关联。学生的数感在这种训练中不断发展。

三、在解决实际问题中增强数感

运算与解决问题紧密相连，因此我们要引导学生依托具体的情境来理解运算的含义，在解决问题的过程中掌握运算技能。学生解决一个问题需要经历提取信息、选择算法、得出结论这一基本过程。在这一过程中，理解数的含义，提取数量关系，得出结论需要学生综合运用对数的认识、数的运算以及对数量关系的把握等知识。学生的数感在解决问题中得到体现并增强。

图十五是人教版一年级下册P80的一道题，一群小朋友围在桌子旁边分蛋糕，桌子上放着3盘蛋糕，每盘都是6个，一个小朋友说，分给17个小朋友，问：每个小朋友分一块，够吗？图中只出现了11个小朋友，而小朋友说要分给17个小朋友，学生首先需要对人数做出判断。要知道每个小朋友分一块够不够，可以将人数与蛋糕的数量进行比较，根据比较结果做出判断。

学生能够把握将人数和蛋糕数进行比较来做出判断的基本思路，根据个人对题目中“3个6”“18”“17”这几个数的特征的把握，综合运用加法、减法以及比较数的大小等来表示自己的想法，并依据计算结果做出判断。正确的计算是做出正确判断的前提，但也可能计算正确，在判断时没有理清数量之间的关系而做出错误的判断。数感在结论的判断中得到增强。

数感的培养是一个长期积累的过程，需要教师在日常教学中深入研读教材，挖掘教材资源，在课堂上进行不断的渗透；需要教师整体把握教材的螺旋上升特征，在课堂教学教学中做好孕伏和联系；需要教师重视解决问题策略的多样性，鼓励学生灵活和创造性地解决问题，让学生在潜移默化中培养和发展数感，最终提升数学素养。

（责编 黎雪娟）endprint