经历思维进阶感悟模型思想——以“表面涂色的正方体”教学为例

◎姚蕊

经历思维进阶感悟模型思想
——以“表面涂色的正方体”教学为例

◎姚蕊

“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。儿童在数学学习中逐步地体会并感悟模型思想，可以帮助他们更好地构建数学与现实世界的联系，在数学与生活的双向互动中体会数学的价值，促进数学应用意识的形成，从而“自觉地用数学的思维方法去观察、分析社会，解决现实问题”。

“不积跬步，无以至千里”。在经历数学建模的“跬步”积累中，促进儿童数学思维的进阶发展，促成其对建模过程的策略认知，是帮助他们体会并感悟模型思想的重要策略。

数学建模是“把现实世界中的问题加以提炼，抽象为数学模型，求解并验证模型的合理性，再用该模型来解决现实问题的过程”。受儿童思维特点的制约，小学阶段的数学学习更多的是获得具有“模型意义”的数学结构。所以，儿童建立数学模型的过程包括“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立关系式表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义”。具体来说就是要经历“简化抽象、发现问题—观察比较、提出猜想—推理验证、建立模型—解释应用、推广拓展”的学习活动，在抽象与概括、分析与综合、归纳与演绎的思维活动中，运用符号语言数学化地描述现实问题，初步学会“数学地思维”。

“表面涂色的正方体”是一节探索规律的课。一个较大正方体的6个面都涂色，如果把这个正方体切成若干个同样大的小正方体（如图1），这些小正方体可能有多少个面涂色？有没有规律？回答这些问题，需要儿童经历从变化的现象中寻找不变，建立数学模型，进而解决复杂问题的建模过程。引导儿童体会并感悟模型思想，关键是在数学化的进程中实现思维的三次进阶。

图1

图2

一、从具体情境走向数学问题的抽象化进阶

从繁杂的现实问题或具体情境中抽象出具有建模意义的数学问题，是数学建模的第一步。基于情境提出问题，需要学生摒弃原型中的非数学属性，挖掘其在数量关系和空间形式上的特点。数学教学中，既要让学生经历提出问题的过程，更要培养他们数学化的观察视角，提升学生从“数”与“形”的角度捕捉、选择和简化信息的能力，发展抽象思维能力。

学生们需要研究的是“表面涂色的正方体”中隐含的数学现象，教学从对正方体特征的回忆开始。

复习回顾：（呈现正方体）关于正方体你们了解了哪些知识？

生：正方体6个面是完全相同的正方形，12条棱长度相等，还有8个顶点。

师：（追问）什么是棱？什么又是顶点呢？

生：（结合正方体直观图讲述）两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。

引导观察：（课件演示）现在把正方体的表面涂上颜色，将棱平均分成相等的份数，比如：2份、3份、4份……然后切开（如图2）。你们想研究什么问题？有想法后，可以先在小组里交流。

（学生们以小组为单位交流自己的思考）

师：你们想研究哪些数学问题？

生1：我们想研究把一个大正方体沿着棱均分成几份，分别可以切成多少个小正方体？

师：（边叙述边板书：“数”）你们想研究分出的小正方体的数量。

生2：我们想知道切分出的小正方体有多少种不同的涂色情况。

师：（边叙述边板书：“形”）你们已经发现了小正方体涂色情况是不同的，这是从“形”的角度来观察的。

生3：小正方体中有三面、两面、一面和没有涂色这四种情况。我们想研究这几种情况的小正方体分别有多少个。

师：你们思考的更深入了，要分情况来研究小正方体的个数。今天我们就把问题聚焦在表面涂色的正方体上，从数与形结合的角度，围绕三面、两面以及一面涂色的小正方体展开研究。（板书课题：表面涂色的正方体）

该阶段提取了学生学习正方体的已有经验，在正方体原型上加工改造，呈现出了具有较强数学结构特点的几何形体情境，情境本身触发了学生多层次、多角度的问题表达。从关注总量到关注分类，再到关注不同类别的数量，体现了学生群体从“数”到“形”再到“数形融合”的思维递进。教师的评价跟进，既肯定了学生提问的角度，又激发了学生的思维，实现了从具体情境到数学问题的抽象化进阶。最后，教师从多个问题中选点聚焦，即围绕三面、两面、一面涂色的小正方体的个数展开研究，为学生明确了建模的方向，也确定了分类讨论的思想基调。

二、从客观数据走向关系建构的推理化进阶

寻找并发现数学问题中的数量关系或变化规律，是数学建模的核心环节。它意味着学生的思维进入到了数学内部，真正开启了知识的探索发现之旅。寻找表面涂色的正方体中隐含的数学规律，需要学生从个例研究入手，收集客观数据，经历观察比较、提出猜想、推理验证的思维活动，实现思维从客观数据走向关系建构的推理化进阶，发展合情推理和演绎推理能力。

（一）收集数据，积累建模的素材

规律往往隐含在数据中，有效的数据能为建模提供思考的依据，而数据的获得离不开实例研究。从最简单的棱均分成2份的正方体入手，还是从最具代表性的棱均分成3份的正方体开始？教师以问题为引领，为学生营造了审辨式的思维场域，在多维对话中做出了符合学生认知实情的选择。

引导学生思考：要研究三面、两面和一面涂色的小正方体各有多少个，你们打算从棱均分成几份的情况开始？

生1：我打算从棱均分成2份的入手，因为研究数学问题时应该从最简单的情况开始。

生2：我不同意他的观点，因为棱均分成2份时，小正方体表面涂色的情况只有一种，而棱均分成3份的正方体，各种涂色情况都包含在内了，所以我觉得应该从棱均分为3份的入手研究。

师：两种不同的观点，你们支持哪一方？

（学生们纷纷表示应该从棱均分成3份的情况开始研究）

师：（小结）研究数学问题一般是从最简单的情况入手，但当它反映问题不够全面时，我们可以从最有代表性的简单情况开始。

表1

从最简单的情况入手是学生在以往解决问题的学习中形成的思维经验。屡试不爽的研究方法在这一节课上却值得商榷。基于对小正方体涂色情况的认知，部分学生敏锐地发现棱均分成2份的大正方体的局限性，进而全班达成共识。从最具一般性的简单情况入手，逐步向复杂问题过渡，借助可以拆卸拼装的正方体实物模型，边观察、边计数、边推想，依次研究了棱均分成3份、4份和5份的特殊个例，获得了第一手可供分析的资料，收获了建模的素材（如表1）。

（二）建立关联，寻求建模的依据

数据的积累是学生按照从简单到复杂的顺序依次纵向研究获得的结果（如表2），而模型的建立需要学生跳出纵向思维的泥沼，转而横向观察（如表3）。横向数据中隐含的信息可以带给学生思维的触动，这种触动是基于数据特点的从特殊猜想到一般的归纳思维的运动。然而，学生容易捕捉数与数之间的变化，却不善于概括量与量之间的内在联系。如果仅仅依靠归纳，思维只能停留在感性层面。感性向理性的飞跃，还需要演绎思维的推波助澜。

表2

表3

问题导引，确定观察方向：观察表格，相信这些数据会带给你很多启发。假如把正方体的棱均分成10份、20份、300份……你能最快说出几面涂色的小正方体的个数？

生：（齐答）三面涂色小正方体的个数。

师：（追问）你们是怎样想的？

生1：从表格中我们可以看出，无论大正方体的棱均分为3份，还是4份或5份，三面涂色小正方体的个数都是8个。

师：横向观察表格，捕捉数据特点是解决问题的一个好方法。

生2：因为三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点上，每个大正方体都有8个顶点，所以无论大正方体的棱均分成几份，三面涂色小正方体都是8个。

师：根据自己的观察和操作，结合三面涂色的小正方体的位置特点再来分析数据，真是有理有据。那为什么三面涂色的小正方体在顶点上呢？

生：三条棱相交的点叫做顶点，从一个顶点出发就有三条棱，三条棱两两组合构成三个不同的面，所以三面涂色的小正方体在顶点上。

师：看来特殊的位置决定了三面涂色的小正方体的个数，那么两面、一面涂色的小正方体的个数和它所在的位置以及大正方体的棱均分成的份数之间又有怎样的关系呢？先自己想一想，再在小组里交流。

（学生小组合作，探讨交流）

师：哪一小组愿意说说你们的想法？

生1：从表格中我们可以看出，棱均分成的份数每增加1，两面涂色的小正方体的个数就增加12。两面涂色的小正方体的个数都是12的倍数。

师：你很善于观察，发现了相邻两个数据之间的联系，进而发现他们都是12的倍数。为什么都是12的倍数？两面涂色的小正方体的个数和大正方体的棱均分成的份数之间又有怎样的关系呢？

生2：两个面相交的线叫做棱，所以两面涂色的小正方体都在棱上，每个正方体都有12条棱。（边操作正方体实物模型，边叙述）以棱均分成3份的大正方体为例，每条棱上有3个小正方体，把两端三面涂色的小正方体去掉，棱中间的小正方体都是两面涂色的，列式就是（3-2）×12=12（个），棱均分成4份时就是（4-2）×12=24（个），棱均分为5份时是（5-2）×12=24（个）。

生3：我们组以棱均分为5份的正方体为例来说明一面涂色小正方体的情况。为了让大家看得更清楚，我画了一幅图，大家看，这个面上一共有25个小正方体，但是外面一圈小正方体都是不符合要求的，只有处在面中间的小正方体是一面涂色的，所以就是25-16=9（个），每个面都是如此，6×9=54（个）。

生4：我想来补充一下，中间的9个小正方体也可以这样来计算。因为把棱均分成5份，所以每一行就都有5个小正方体，去掉每行中两端不符合要求的，还剩下3个，3×3=9(个)，列式就是（5-2）×6=54（个），棱均分为3份时列式就是（3-2）×6=6（个），棱均分为4份时就是（4-2）×6=24（个）。

教师深层追问，引导学生再次利用正方体实物模型或者手绘直观图来确认“数量”与“位置”以及“棱均分成的份数”之间内在的逻辑关联，促进了猜想的完善，同时也给了猜想以合理的解释。

杜威认为，一次完整的思维包含着两种运动：一种是用于发现的归纳性运动，另一种是用于检验的演绎性运动，是归纳与演绎的双向互动，实现了学生思维点—线—面的辐射式发展。教学中，首先要实现思维的点状提升。问题的解答需要学生提取面、棱、顶点的数学概念，对大正方体进行结构性分析。连贯性的言语表达使学生的思维提升到了“分析”“评价”的高阶层面。其次，要达成思维的线上贯通。对“为什么”的探寻让学生明白，规律之所以因位置的不同而不同，是因为每个位置有其自身的结构特点，三个不同数学模型的呈现才是完整的规律表达。道理通则思维通，理解了规律存在的本质原因，也就实现了建模进程中思维的线性连接。最后，要体现思维的面上延展。数学的思考既是有序的，又是严谨的，从“是什么”到“为什么”的层层推进，让学生意识到规律与位置有关，而位置又体现出几何体的特征，把新学的数学规律与已有的正方体特征建立关联，形成具有良好逻辑结构的知识网络，达成对知识的深度理解。

三、从言语表述走向符号表达的数学化进阶

规律的表达是学生基于问题解决的自然诉求。从基于意义理解的自我言语述说过渡到数学算式表征（如表4），这是走向数学符号表达的必经之路，而符号表达则是探索规律中数学建模的核心指向。

表4

引导回顾：刚才我们研究了把棱均分成3份、4份、5份这3种情况，如果把棱均分成n份，三面、两面和一面涂色的小正方体分别有多少个呢？请同学们先想一想，再写一写。

（学生在作业纸上独立完成，教师指名一学生板演）

师：谁愿意说一说把正方体的棱均分成n份时的情况？

生1：棱均分为n份时，三面涂色的小正方体在顶点上，是8个。两面涂色的在棱上，去掉两端三面涂色的，用（n-2）×12就算出了两面涂色小正方体的个数。一面涂色的小正方体在面上，每一行两端的小正方体去掉，剩下小正方体的个数就是（n-2），所以就用（n-2）×6。

生2：我觉得n必须是大于1的自然数才可以，如果n=1时，它就是一个6个面都涂色的正方体了。

师：（呈现棱均分为2份的正方体）当n=2时，符合我们发现的规律吗？

生：我认为是符合要求的。当n=2时，三面涂色小正方体还是8个，是不变的。两面涂色的小正方体有（2-2）×12=0（个），一面涂色的小正方体有（2-2）×6=0（个），这些和我们所看到的正方体实物是完全吻合的。

师：如果把棱均分成100份，你能算算三种情况的小正方体各有多少个吗？

（生运用模型快速计算）

生：棱均分成100份时，三面涂色的有8个，两面涂色的有（100-2）×12=1176（个），三面涂色的小正方体有（100-2）×6=57624（个）。

师：看来，当我们手够不到的时候，可以通过思维来解决问题了。

言语表达、算式表征是走向符号表达的基石，经历了一个不断抽象、概括的过程，学生最终建立起了可以推而广之的数学模型，为解决问题提供了方法支撑。在模型的反哺中，再结合具体情况赋予模型实际意义，用以解决棱均分为2份的特殊问题，以及棱均分为百份的复杂问题，在解决问题中感知到了建立模型的真正意义。

（作者单位：江苏省徐州市民主路小学）

（责任编辑：杨强）