浅谈三角函数解题方法

阳辰雨��

摘要：在现在的高中课程及考试中，我们可以很清楚地看到，三角函数占的比重比较大，选择题、填空题及后面的大题，三角函数的身影无处不在。为什么三角函数会成为老师的命题热点？可以从两个方面来解答。一是：三角函数的题目非常的灵活，每一个公式的变式非常多样，一道题目可以运用不同的公式进行解答。二是：就我们的教育而言，学习数学的目的在于开拓思维，能够举一反三，通过不断的思考提升我们的思辨能力。本文就三角函数的解题方法做了一些简单的总结，希望能够对我们高中生有所帮助。

关键词：三角函数；高中数学；解题方法；思路；分析

一、 针对基础知识出题并解答

首先，我们需要知道高中阶段所学习的三角函数的基础知识有哪些，常见的有正弦、余弦、正切这些基本概念及公式，同时，我们需要知道以上三种基本函数的图形，很多时候考题中比较简单的题目就会将以上三种函数进行简单的排列组合进行运算，所以，在学习基础知识的时候，我们不仅需要熟练掌握每一函数的公式，图形，还应该熟练掌握其公式的变式及三者之间的相互转化方法。在最短的时间里，找到最佳解题方法，这样不仅可以提高效率，还能帮助考场上的我们找到自信。说了这么多，下面让我们来看一道题仔细体会一下。

【例1】已知ɑ和β均是锐角，当cosɑ=4/3，tan（ɑ-β）=1/3时，求cosβ的值。

分析：这是我们在学习过程中非常容易碰到的题目，也是三角函数最为基本的出题方式。这种题目主要考察三角函数的各种函数类型之间的转化，因此，我们必须熟练掌握正弦余弦之间的关系以及他们之间的转换公式。

解答：cosβ=cos[ɑ-（ɑ-β）]=cosɑcos（ɑ-β）+sinɑsin（ɑ-β）

因ɑ是锐角，可得cosɑ=4/5，sinɑ=3/5，

同时因ɑ、β均是锐角，-90°<ɑ-β<90°，

又tan（ɑ-β）=1/3，0°<ɑ-β<90°，

所以cos（ɑ-β）=310/10，sin（ɑ-β）=10/10，

所以cosβ=4/5*310/10+3/5*10/10=310/10。

上述题目中我们使用了三角函数的诱导公式、和差公式等，题目并不难，题目并不难，只要我们能够理解出题人的意图，充分发掘已知信息，将问题转化为我们所学过的函数变换，题目就迎刃而解了。但是如果我们对于三角函数的诱导公式以及其他相关公式不熟练的话，我们依旧无法解答出此类题目，白白浪费了本应该可以到手的分数。

二、 丰富解题技巧，应对拓展难题

很多同学在解答三角函数的过程中，常常只是做一道题会一道题，缺乏归纳总结问题的能力，每道题目都是新题。这种学习态度及方法让我们在面稍稍有点难度的问题上就一筹莫展，我们需要从好的题目中学习好的解题方式，在难题甚至偏题上提高我们的竞争力。让我们再来看下面这一道题，看看我们可以从中学到什么。

【例2】化简sin50°（1+3tan10°）。

分析：这道题目包括正弦和正切，并且不是我们常见度数，不能直接进行化简，我们需要使用切割化弦法进行解决。

解：因为1+3tan10°=cos10°+3sin10°cos10°

=212cos10°+32sin10°cos10°

=2（sin30°cos10°+cos30°sin10°）cos10°

=2sin40°cos10°，

可得：sin50°（1+3tan10°）=sin50°·2sin40°cos10°=2sin40°cos40°cos10°=sin80°sin80°=1。

三、 利用最佳三角函数解题

题目中常常只会给出某一个三角函数的信息，但是通常会要求我们求另一个三角函数的值，函数之间的转换关系式非常多，因此，要想快速答题，我们要选取最佳转化关系式，因此，我们需要掌握每一函数的性质以及他们之间的区别。还是通过题目来进行一个直观的体验。

【例3】已知ɑ、β为锐角，sinɑ=25/5，sinβ=10/10，求ɑ-β的值。

分析：这是一道非常典型的题目，出题者意图在于考察学生是否能够合理选取诱导公式，因此，我们的答题思路应当是根据三角函数的性质合理选取变换公式。

解：因为ɑ、β为锐角，sinɑ=25/5，sinβ=10/10，

所以cosɑ=1-sin2ɑ=55，cosβ=1-sin2β=31010，

所以sin（ɑ-β）=sinɑcosβ-cosɑsinβ=22，

又因为ɑ、β为锐角，

所以-π2<ɑ-β<π2，

所以ɑ-β=π4。

实际上，在这道题中，我们有一个逆向思维的应用，也就是我们常说的“给值求角”。在解题过程中还有一些细节需要我们注意：注意题目中给出的或隐藏在已知信息中所求角的范围，以帮助我们在最后的象限的选取中不要犯错，从而能够选择出恰当三角函数用来解题。

参考文献：

[1]贺连军.例析高中数学三角函数解题中存在的问题[J].新课程（中旬），2013，（10）：211.

[2]张梦瑶.浅析高中数学中的三角函数变换[J].文理导航（中旬），2016，（1）：16.

作者简介：

阳辰雨，湖南省長沙市，湖南省长沙市明德中学K382班。endprint