一类随机环境中单边二重随机游动的常返性

张 培，武芳勤

（宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000）

一类随机环境中单边二重随机游动的常返性

张 培，武芳勤

（宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000）

随机环境中的单边二重随机游动是随机环境中随机游动的推广，讨论了随机环境中单边二重随机游动的常返性.在环境满足一定的条件下给出二重随机游动的常返、正常返、零常返和非常返的判别准则.

随机环境；单边二重随机游动；非常返；正常返；零常返

0 引言

20世纪70年代，kozlov[1]首次提出随机环境中的随机游动（RWRE）模型，随后Solomon[2]讨论了全直线上的RWRE的性质，诸多概率论工作者研究了随机环境中的随机游动，并且取得丰富的结果[3-5].作为随机环境中随机游动的推广的随机环境中的二重随机游动却很少有人研究.随机环境中的二重随机游动是物理学中的一个很重要的模型，具有很强的实用意义，Szase等[6]和Alili[7]比较系统地研究了二重随机游动，郑希民[8]研究了独立同分布随机环境中的单边二重生灭链的常返性，汪荣明[9]研究随机环境中二重生灭链的马氏性.本研究主要讨论在0点上具有反射壁的一类随机环境中单边二重随机游动的常返性，给出该模型的正常返和零常返的判别准则.

1 定义与符号

定义1 称取值于Z+={0,1,2，…}的随机过程{Xn，n≥0}是随机环境中的单边二重随机游动.如果：

且

其中 βj＞0，αj＜1（j≥1）；{βj}j≥1和{αj}j≥1是随机变量序列. 称随机变量序列 e={βj，αj，j≥0}是随机环境，它的每个现实称为环境.

由于Xn是不可约的二重马氏链，讨论此二重随机游动的常返性，只需要讨论某一点的常返性.不失一般性可以讨论0点的常返性.

2 主要结果及其证明

引理1[2]如果对几乎所有的环境{Xn，n≥0}某一性质都成立，则此随机环境下的马氏链{Xn，n≥0}也具有此性质.

引理2[9]{Xn，n≥0}为固定环境中的二重随机游动，则：

引理3 设Y1，Y2，…，Yn，…是一列两两不相关的随机变量且方差一致有界，即存在M＞0使得DYn≤M，

则：

1）当 c＜0 时，

2）当 c≥0 时，

证明：因为{Yn，n≥1}是一列两两不相关的随机变量序列，方差存在且一致有界，故有：

所以对上述 ε＞0 存在 N0∈N+，当 n＞N0时有综上对上述 ε＞0 存在 N1∈N+，当 n＞N1时有乎处处成立.

1）当 c＜0 时，存在 N2∈N+，当 n＞N2时有乎处处成立.

2）当 c＞0 时，存在 N3∈N+，当 n＞N3时有几乎处处成立.

定理1设{Xn，n≥0}是随机环境e={（αn，βn），n≥1}中的单边二重随机游动，若{lnσn，n≥1}两两不相关，D（lnσn）存在且一致有界

1）若 c≥0，则{Xn，n≥0}常返；

2）若{Xn，n≥0}非常返，则 c＜0；

3）若 c＞0，则{Xn，n≥0}正常返；

4）若 c=0，则{Xn，n≥0}零常返.

证明：令

下证（3）和（4）：当 c＞0时，有：

定理2设{Xn，n≥0}是随机环境e={（αn，βn），n≥1}中的单边二重随机游动，若αj=1-βj，{lnσn，n≥1}两两不相关，D（lnσn）存在一致有界

1）c≥0⇔{Xn，n≥0}常返；

2）c＜0⇔{Xn，n≥0}非常返；

3）c＞0⇔{Xn，n≥0}正常返；

4）c=0⇔{Xn，n≥0}零常返.

证明：先证明（1）、（2）的充分性，由定理 1（1）知（1）的充分性成立.

故有：

由定理1知（2）的充分性成立.

下证必要性，对于（1）如果{Xn，n≥0}常返，则必有 c≥0，反之如果 c＜0，由（2）的充分性知{Xn，n≥0}非常返矛盾.

同理可得（2）的必要性成立.由定理 2（1）和定理 1知（3）、（4）成立.

[1]KOZLOVMV.RandomWalk ina One Dimensional Random Medium[J].Physica AStatistical Mechanicsamp;Its Applications，1990，164（1）：52-80.

[2]SOLOMONF.Random Walk ina Random Environment[J].Annals of Probability,1975，3（1）：1-31.

[3]COGBURNR.Markov Chains in Random Environments:the Case of Markov Environments[J].Annals of Probability，1980，8（5）：908-916.

[4]COGBURNR.The Ergodic Theory of Markov Chains in Random Environments[J].ZWahrach Verw Gebiete，1984，66（1）：109-128.

[5]COGBURNR.On Direct Convergenceand Periodicity for Transition Probabilities of Markov Chainsin Random Environments[J].Annals of Probability，1990，18（2）：642-654.

[6]SZASED，TOTHB.Peresist Random Walksin One-dimensional Random Environment[J].Journal of Statistical Physics，1984，37（1）：28-38.

[7]ALILIS.Peresistent Random Walksin Stationary Environment[J].Journal of Statistical Physics，1999，94（3）：469-494.

[8]郑希民.随机环境中单边二重生灭链的常返性[J].武汉大学学报（理学版），2007，53（1）：17-20.

[9]汪荣明.关于随机环境中二重生灭链的马氏性[J].安徽师范大学学报，1992，（2）：11-18.

Recurrence of Single Side Random Walks of Order 2 in Random Environment

ZHANG Pei,WU Fang-qin
(School of Mathematicsamp;Statistics,Suzhou University,Suzhou,Anhui 234000,China)

Single side random walks of order 2 in random environment is the extension of random walk in random environment.In this paper,the recurrence of single side random walks of order 2 in random environment is discussed.The criterion of recurrence,positive recurrence,null recurrence and transience of single side random walks of order 2 is given under the environment that satisfies certain condition.

random environment;single side random walks of order 2;non-recurrence;positive recurrence;null recurrence

O211.62

A

1673-1972（2017）06-0053-04

2017-10-11

国家自然科学基金面上项目（11371029）；宿州学院重点科研项目（2016yzd05）；宿州学院校级一般科研项目（2014yyb01）

张培（1988-），女，安徽宿州人，助教，主要从事随机分析研究.

（责任编辑 钮效鹍）