相似形中的“凹槽图形”

罗智国

相似形中的“凹槽图形”

罗智国

我们在八年级学习全等时，经常会碰到这样的问题：

如图1：直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是.

图1

在这个图形中，因为AE⊥BE，CF⊥BF，得∠AEB=∠BFC=90°，所以∠EAB+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，得∠EAB=∠FBC，再加条件AB=CB得△ABE≌△BCF，从而有BE=CF=2，AE=BF=1，所以EF=BE+BF=3.

在这个图形中，有∠AEB=∠ABC=∠BFC=90°，我们把存在这样关系的图形叫“一线三角”，也俗称“凹槽图形”.如果把其中的线段相等条件去掉，则这样的凹槽图形必有△ABE∽△BCF，当然，我们也可尝试把90°换成60°或任意的角，都可以得△ABE与△BCF相似.今后同学们在做选择、填空题时碰到这类的凹槽图形可直接加以运用，以加快解题的速度，也可以让我们在解题时很快找到思路.

“凹槽图形”在中考中也是层出不穷，特别在相似中运用广泛.

如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，CD＞AB，P是AD上一动点（不与A，D重合），PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于E.请探索点P在运动过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求AP长；如果不能，说明理由.

图2

在解决这道题目时，同学们首先应该在题目中审清条件，快速地找到题目中的形——“凹槽图形”，利用△ABP∽△DPE，得，我们可设AP=x，则，求得.如果四边形ABED为矩形，则有，解得x=1或x=4，验证知：当AP=1或AP=4时，四边形ABED构成矩形.

审题很关键，通过审清题目，配合图形找出图形中蕴含的特殊图形，然后设未知数通过相似建立等量关系解决问题.同学们在今后解题时可以借鉴.但并不是每一条题目中的“凹槽”都是一目了然的，有些题目我们必须自己增加辅助线构建“凹槽图形”.

如图3，在△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

图3

这道题目有一定的难度，可能许多同学一时半刻没有思路去解决.这时建议同学们再去好好审题，找到图形中的隐藏的量，很快就可以发现：只需分别从E，F向HG引垂线，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P，Q，如图4，这样就出现了我们要的“凹槽图形”，而且有两个，则△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得出两个比例等式所以，由此得EP=FQ.这时可以利用△EPH≌△FQH得HE=HF.

图4

将复杂问题简单化，是我们成功解题的关键.这就要求我们在平时的学习中要注意解题后的反思、小结，积累解题的经验，形成自己特有的解题方法与技巧，以不变应万变.

学习中解决数学问题，都是由浅入深，由易到难的.同学们只要抓住题目的根本条件，把最原始的基本图形保持在脑海中，如我们上面讲的相似中的“凹槽图形”，这样才能快速找到解决问题的途径，进而解别人所不能解的题目，并提升自己学习数学的思维与方法.

（作者单位：江苏省兴化市张郭中心校）