相似抓对应分类防漏解

唐华金

相似抓对应分类防漏解

唐华金

两个图形相似，一定要注意相似形的对应边和对应角，不少同学因概念不清或考虑不周经常出现错解或漏解，下面对一些典型的犯错点进行剖析，希望对大家的学习有所帮助.

例1如图1，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE=4cm，求BC的长.

图1

【典型错解】∵DE∥BC，

【错因分析】本题错解中用错了两个相似三角形的对应边，由△ADE∽△ABC应得，从而得BC=3DE=12（cm）.

所以学习相似三角形一定要注意对应.

【纠错训练1】如图2，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，

图2

例2如图3，在已建立平面直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形，若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是.

图3

【典型错解】P点坐标为（1，4），（3，4）.

【错因分析】本题错解中遗漏了三角形全等的情况，事实上，全等是特殊的相似.当点P与点B对应时，形成相似比为2∶1的相似三角形；当点P与点C对应时，两个三角形全等，即相似比为1∶1.如图4，格点P的坐标应为（1，4），则

或（3，1）或（3，4）.

图4

【纠错训练2】如图5，在2×4的正方形方格中，与格点△ABC相似但不全等的格点三角形共有个.

图5

例3如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值是

【典型错解】第一步，求得其中一个直角三角形第三边长为10；第二步，将6、8、10分别与3、4、5对应求得x=5.

【错因分析】主观上将6和8当作直角边，并将6、8和3、4对应，缺乏分类意识，事实上，边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边.当6和8为直角边时，根据勾股定理可知斜边为10，，解得x=5；当6是直角边，8是斜边时，根据勾股定理可求得另一条直角边为27.由，解得x=7，所以x=5或7.

图6

【纠错训练3】将三角形纸片△ABC按如图6所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB=AC=8，BC=10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.

例4如图7，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直线AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，PA=

图7

【典型错解】如图8，当点P在线段AB上，①当时，△PAD∽△PBC，此时，解得

图8

【错因分析】只考虑点P在线段AB上的情形，未考虑点P在线段AB延长线上或在线段BA的延长线上的情况，设PA=x，

图9

图10

③如图11，若点P在线段AB的延长线上，当△PAD∽△CBP时，，此时解得（负值舍去），PA=x=，综上，PA=1或6或或14或

图11

【纠错训练4】如图12，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D是BC边的中点，动点P从点C出发，沿C→A→B的方向在AC、AB边上以每秒2个单位的速度向点B移动，运动至点B即停止.连接PD，当点P运动时间t=时，线段PD截得的三角形与Rt△ABC相似.

图12

通过以上几种易错点的分析，我们可以发现，学习相似一定要抓住相似形的对应边和对应角，同时，要注意题目语言的叙述是否存在多种可能，特别是“相似符号没有写的情况下，一定要注意对应防漏解”，提高分类的意识，增强思考问题的全面性和完整性.

小试牛刀

1.如图13，在△ABC中，AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点.AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，试添加一个条件：，使得△FDB与△ADE相似.

图13

2.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图14，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为.

图14

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（作者单位：江苏省东台市头灶镇曹丿中学）