函数最值问题的解法

蒋先培

(云南省曲靖市会泽县第一中学，云南 曲靖 654200)

函数最值问题的解法

蒋先培

(云南省曲靖市会泽县第一中学，云南 曲靖 654200)

函数最值问题综合性强，解题方法相对灵活，对数学各方面知识点的掌握要求较高.教师在日常教学中应引导学生多角度分析、思考问题，提升解决实际问题的能力.本文主要探讨三种方法解决函数最值问题.

高中数学；最值问题；配方法

高中数学中，函数的最值问题一直是高考中考查的重点，通过最值问题可以衍生出许多其它的问题，其中的题型千变万化，而这也给函数最值问题的学习增加了很大难度.即便如此，只要学生对那些解决函数最值问题的方法了然于心，对于不同类型的最值问题采用合适的方法，函数的最值问题将会迎刃而解.

一、配方法

通过配方法解决函数问题是高考中的重要考点，通过对所求的函数进行恒等变形，将原函数转化为完全平方式，进而求出函数最值.配方法是求函数最值的重要方法，这种方法思路清晰，简洁明了.下面的例子就是通过配方法求函数最值的典型例题.

例1 求三角函数y=5sinx+cos2x的最值.

点拨本题如果用常规的求导法求解，求解过程会非常繁琐，此时明智的做法是通过恒等变形，将原三角函数式进行转化，通过熟悉的函数来求最值，可以使得解题过程大大简化，达到事半功倍的效果.

二、单调性法

单调性法是解决最值问题的实用方法，通过判断函数的单调性得到函数最值.通过下面的例子可以深入了解单调性法求函数最值问题.

例2 求函数f(x)=log2(-x2-4x+12)的最大值.

解析本题首先应该通过换元将二次函数转化为一次函数，然后再利用对数函数的单调性进行求解.可令u=-x2-4x+12=-(x+2)2+16，易得0lt;u≤16，因为y=log2u在(0,+∞)上为增函数，所以log2u≤log216=4.所以f(x)的最大值为4.

点拨本例中通过换元将对数式中的二次函数进行转化，使得函数变成一般对数函数，通过对数函数的单调性，只要求出换元之后函数u的最值，那么f(x)的最值问题也就迎刃而解了.

三、求导法

求导法是解决最值问题最基本的方法，通过求导法来判断函数的单调性.求导法经常用于解决综合题，这类问题难度较大，往往需要进行分类讨论，根据对参数的分类讨论，从而得出函数的最值.下面的例子就是关于此类问题的一道综合题，比较具有代表性.

(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.

点拨本例的解题过程比较复杂，但是只要抓住参数的取值这条主线，按部就班地进行分类讨论，相对复杂的问题也是可以得到解决的.需要注意的一点是，对于比较有难度的综合题，第一问一般是第二问的铺垫，通过仔细研究第一个问题，会对比较有难度的第二问的解决产生较大帮助.

综上所述，对于不同的最值问题，需要采用不同的方法，对症下药是解决问题的关键.但是这一切的基础是对各种方法的熟练掌握，学生在平时的学习中应当认真总结和归纳，只有很好地掌握解决最值问题的各种方法，才能够吃透最值问题，提高解题能力.

[1]孙西洋.运用换元法巧解对数函数问题[J].新高考,2014(01).

[2]冉献华.谈谈如何求函数的值域[J].试题与研究,2014(12).

[责任编辑：杨惠民]

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1008-0333(2017)25-0046-02

2017-07-01

蒋先培(1978.11-)，男，云南省曲靖人，中学一级，大学本科，从事数学的一些解法的研究.