基于无偏LS-SVM的混沌系统的混合同步控制*

赵垚鑫， 张国山

(天津大学 电气与自动化工程学院，天津 300072)

基于无偏LS-SVM的混沌系统的混合同步控制*

赵垚鑫， 张国山

(天津大学电气与自动化工程学院，天津300072)

为实现超混沌系统与混沌系统的混合同步控制，通过对主系统采样，获得训练样本数集，设计了从系统混合同步轨线的形式；采用无偏最小二乘支持向量机(LS-SVM) 的方法，引入核函数，获得优化目标，根据优化目标，求出混合同步轨线，设计了控制器。以超混沌Lorenz-Stenflo系统为主系统，Chen混沌系统为从系统为例，基于Matlab进行数值仿真，验证了方法的有效性。

混沌系统； 最小二乘支持向量机； 混合同步

0 引 言

混沌同步在传感器优化[1]、图像信号处理[2]、保密通信等领域展现出了重要的应用价值和前景[3]，成为非线性科学领域的热点课题，得到广泛研究。

与混沌系统比较，超混沌系统具有2个或2个以上正的Lyapunov指数，其动力学行为更加随机、更加不可预测，具有更高的保密性，在各领域应用更加广泛。近年来，提出了介于两个混沌系统之间的混合同步概念，如Chen系统和Lu系统的自适应混合同步[4]，超混沌Lorenz系统和超混沌Qi系统的混合同步，基于被动法的超混沌Lu系统的混合同步[5]，基于主动非线性法的Liu系统和Chen系统的混合同步[6]，基于非线性法的Arneodo系统和Rossler混沌系统的混合同步等。

本文基于数据驱动思想，采用最小二乘支持向量机(least square support vector machine,LS-SVM)算法，通过对主系统求解，得到训练样本数集，结合从系统，在无偏LS-SVM框架下求出混合同步轨线，设计了控制器，实现主从系统的混合同步控制。此外，根据无偏思想[7]，消去计算过程中的偏置项，省去冗余计算，改进了计算精度。

1 超混沌与混沌系统的混合同步控制

1.1 问题描述

考虑如下非线性混沌系统，系统(1)为主系统，系统(2)为从系统

(1)

(2)

式中x,y∈Rn;f,g为R×Rn→Rn的可微函数；u(t,x,y)为控制输入。

定义混合同步误差e=x-qy，设计控制器u使得具有同初值x0,y0的系统满足

分别取q=1，q=-1，可实现系统(1)，(2)的同步与反同步，将其结合在主从系统的同步控制中，即可实现混合同步。

1.2 混合同步控制器设计

首先，通过四阶龙格—库塔法对主系统(1)进行数值求解，得

式中n为状态向量维数；m为每一维训练样本点个数。

根据文献[8]阐述的回归预测无偏LS-SVM的主要思想，可将混沌系统混合同步问题转换为非线性系统的回归问题，设混沌系统(2)的混合同步轨线为

(3)

式中wl为权重向量；b为偏置项;φ(t)为非线性映射函数，将输入向量由原空间映射到高维特征空间。由于偏置项b的存在，会导致后续计算中系数矩阵冗余，为提高计算速度与精度，在此引入常值参数λ，将偏置项合并到权值向量wl中，在形式上消除偏置项b，消除冗余计算。设

可将式(3)转换为

(4)

同理，将式(2)中f(x)转化到高维空间，其形式如下

(5)

(6)

(7)

(8)

式中i=2,…,m;j=1,…,m;l=1,…,n。根据Karush-Kuhn-Tucker(KKT)最优化条件，对各个变量求偏导数，可得

(9)

式中 通常Φ(·)的表达式未知，为此，引入核函数，从而避免高维空间中的点积运算，简化计算。由于混沌系统通常用微分方程来描述，在此对核函数的导数进行定义，根据Mercer[9]定理，特征映射函数[7]的导数可以写成核函数导数的形式

例如

本文采用径向基核函数，其表示形式为

K(x,xk)=exp{-(x-xk)2/σ2}

(10)

代入求解矩阵方程式(10)，可得到系数矩阵，则由式(4)可知，从系统的混合同步轨线为

(11)

由式(5)可知，f(x)近似形式为

(12)

u(t)辨识形式为

(13)

为了说明该控制器的有效性，将其代入式(2)，重构该系统，形式如下

(14)

根据式(14)，通过龙格—库塔法求该系统的解并将其与式(1)的参考轨迹对比。

2 仿真实验

为验证本文方法的有效性和优越性，以超混沌Lorenz-Stenflo系统[11]为主系统， Chen系统为从系统，采用四阶龙格—库塔法，基于Matlab进行混合同步数值仿真。

例：主系统为超混沌Lorenz-Stenflo系统

(15)

式中y=[y1,y2,y3,y4]T∈R4为状态向量，初始状态为y(0)=[0.028,0.02,0.03,0.04]T。

从系统为Chen系统

(16)

式中x=[x1,x2,x3,x4]T∈R4为状态向量，初始状态为x(0)=[5,6,7,8]T;u(t)∈R4为待求的控制器。

定义混合同步误差：el=xl-qlyl，l=1,2,3,4，其中，当ql=1时，为系统同步控制；q1=-1，为系统反同步控制。文中，取q1=q3=1，q2=q4=-1。取超混沌系统的离散解采样样本容量m=500，作为训练点，采样区间t∈[0,30]s。

超混沌Lorenz-Stenflo系统与 Chen系统混合同步控制轨线曲线如图1所示。

图1 主系统与从系统的混合同步轨线

由图1(a),(c)看出:x1-y1,x3-y3运动轨迹的方向一致，且基本重合，表明在控制器的作用下达到了同步。由图1(b)，(d)看出:x2-y2,x4-y4运动轨迹方向完全相反，幅值基本相等，表明在控制器的作用下达到了反同步。

设计的最优控制器，Chen系统的控制输入信号如图2所示。其中(a)，(c)实现了x1-y1,x3-y3的同步控制；(b)，(d)实现了x2-y2,x4-y4的反同步控制。

图2 混合同步控制器

图3 主从系统的误差曲线

由图3可知:在混合同步控制器的作用下，x1-y1,x3-y3,x2-y2,x4-y4的轨线误差均随时间的变化趋于零，且收敛速度较快。

仿真结果表明:在控制器的作用下，超混沌Lorenz-Stenflo系统与 Chen系统的混合同步误差系统渐近稳定，随着时间的变化很快趋于零，达到了设计要求，实现了混合同步控制。

3 结 论

采用LS-SVM方法，根据主系统的采样数据，训练从系统，求得超混沌系统和混沌系统的混合同步控制器和混合同步轨线。设计的控制器可以使主从系统达到混合同步，且控制器的显式表达是连续可微的闭式形式。在主系统中各待同步状态已知或可通过状态观测器估算的前提下，可通过搭建LS-SVM框架完成混合同步控制器的设计以及从系统中待同步状态的同步跟踪。以Lorenz-Stenflo超混沌系统与Chen混沌系统为例，仿真结果充分说明了同步方法的科学性和有效性。

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HybridsynchronizationcontrolofchaoticsystemsbasedonunbiasedLS-SVM*

ZHAO Yao-xin, ZHANG Guo-shan

(SchoolofElectricalEngineering&Automation，TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

To realize hybrid synchronization control of hyper chaotic system and chaotic system,training sample number is obtained by sampling master system, and the hybrid synchronous trajectory of the slave system is set up.By using a method based on least square support vector machine(LS-SVM),and introducing the kernel function,the optimization target can be obtained,and according to optimization target,hybrid synchronous trajectory is gotten,and the controller is designed.Taking the hyper chaotic Lorenz-Stenflo system as master system,and Chen chaotic system as slave system,numerical simulations based on Matlab is carried out and verify efficiency of the method.

chaotic system; least square support vector machine(LS-SVM); hybrid synchronization

10.13873/J.1000—9787(2017)11—0115—04

TP 391

A

1000—9787(2017)11—0115—04

2016—10—20

国家自然科学基金资助项目(61473202)

赵垚鑫(1992-)，女，硕士研究生，主要研究方向为数据驱动控制，混沌控制的研究。

张国山(1961-)，男，教授，博士生导师，从事非线性系统控制理论，智能控制与混沌控制及应用的研究工作。