对太阳影子定位的研究

余润泽

摘 要 本文针对直杆的太阳影子的变化定位该直杆所处的地点和日期问题运用数学几何关系，采用了最小二乘法、拟合、余弦定理、空间视角坐标转换等处理方法，求出物体所在地的经纬度进而得到物体所在的地点，并且判断出拍摄物体的时间。

关键词 太阳影子定位 最小二乘法 拟合 余弦定理 坐标转换

中图分类号：0242 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.10.019

The Study of Solar Shadow Location

YU Runze

（Northwestern Polytechnical University， Xian， Shaanxi 710072）

Abstract The change of positioning for straight bar sun shadow the straight pole location and date of the use of mathematical geometry， using the method of least squares fitting， and cosine theorem， space angle coordinate conversion method， calculate the object location of the longitude and the location of the object， and determine whether the object is captured the time.

Keywords solar shadow positioning； least square method； fitting； cosine theorem； coordinate transformation

1 数据的获取

本文中物体太阳影子的顶点坐标数据以及视频数据均来自2015年全国大学生数学建模A题。

2 影子长度关于时间、经纬度、时刻的变化规律

2.1 问题的研究

对于该问题，我们经过查阅资料[1]了解到，影子长度与直杆自身长度、太阳高度角有关，而太阳高度角与太阳赤纬、直杆自身位置、时角有关，设太阳赤纬为，设直杆自身纬度为，太阳时角为，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离，与所处经度有关。然后，我们确定，，这三个角度。

（1）直杆自身纬度 ：直杆自身纬度由自身位置决定，数值为所处位置与地心连线和赤道平面的夹角范围为-90

（2）太阳赤纬：赤纬角以年为周期，范围为-23 6'≤ ≤23 6'，因为赤纬值日变化很小，查阅资料[2]得知，一年内任何一天的赤纬角可以表示为

（3）太阳时角：从参考资料[3]中可知，某地正午12点的时候当地的时角为0

假设直杆所在地区的时间为时对应的北京时间为，所在的经度为，查阅知，北京经度为东经120

同时我们规定，东经为正，西经为负，因此时角为

然后，我们根据两个向量来求太阳高度角，如图1所示。

图1中，为某地固定点所在的切平面的单位法向量，为入射太阳光所对应的向量。设地球半径为，那么点的坐标为

我们通过高等数学的知识可知

某一时刻的太阳光入射单位向量为

所以太阳高度角可以用如下式子表示

因此，设直杆的实际长度为，投影长度为，

2.2 问题的求解

我们以2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子为例进行分析（见图2）。

从图2中可以看出，北京时间12：15左右的时候，天安门的地方时为正午12：00，此时影子最短，所以会有北京时间9：00的影子长于北京时间15：00的影子。

影子长度随直杆纬度的变化（见图3）。同理影子长度随直杆经度的变化以及随日期的变化和随直杆长度的变化可以一并画出，此处不再重复。根据式（8），很显然，影子长度与直杆长度为正比关系，因此不再画图。

3 直杆位置与影子顶点坐标、时间的关系研究

3.1 问题的研究

该问题要求根据影子顶点坐标数据的变化来确定直杆所处地点，并且在附件1中*，测量时间已知，所以，我们需要确定经度和纬度来确定所处位置。对于经度的定位，我们需要根据直杆所在地的地方时与北京时间的时差，利用太阳时角计算公式，确定物体所处地点的经度值，计算时差，我们将影长数据和对应的北京时间利用最小二乘法进行曲线拟合，推算出影子长度达到最小也就是当地时间为正午十二点时所对应的北京时间；对于纬度的定位，我们使用太阳方位角来计算纬度。

查阅参考资料[4]可知，太阳方位角的计算公式为：

其中为当日太阳直射点的纬度（太阳赤纬），我们可以通过日期求得太阳赤纬，结合太阳高度角得到该地的纬度。我们通过对影子的横纵坐标进行曲线拟合以及对影长和北京时间进行曲线拟合。

3.2 问题的求解

首先，对影子顶点的横纵坐标进行曲线拟合。其次，再对影子长度和北京时间进行曲线拟合，进而我们得到最短的影子的北京时间为，即12：36时影子最短，北京时间12：36分时该地时间为12：00，影子最短为。根据式（3），我们可以得出经度€啊H范？2：36分时的影子坐标，我们有如下方程组成立

4 基于影子顶点坐标条件下的定时定位

在这个问题中，经度和日期是没有关系的，所以我们再次使用问题二的模型，使用最小二乘法对影子顶点横纵坐标以及影子长度和时间的关系进行曲线拟合。

进而我们得到最短的影子的北京时间为，即15：12时影子最短，北京时间15：12分时该地时间为12：00，影子最短为。根据式（3），我们可以得出经度。

对于求的值，我们选取间隔一小时的两组数据，那么太阳光角度转15€埃莞郊？给出的坐标值（-1.2352，173）和（-0.7227，0.4484），我们可以求得

将式（8）（9）（10）合并得到求解影子理论长度的公式为

带入数据可得，即该数据取自7月18日，所以太阳直射点纬度为北纬21€？1'。利用该点的日期和经度，我们求得该点的纬度为北纬64€？8'和南纬31€？1'。进而求得直杆所在的位置。

*附件不在本文中列出。

参考文献

[1] 李宗伟，肖兴华.天体物理学.北京：高等教育出版社，2000.

[2] 太阳赤纬，百度百科. http：//baike.baidu.com/view/213620.htm 7月15日.

[3] 時角，百度百科.http：//baike.baidu.com/view/823827.htm 7月15日.

[4] 太阳高度角，百度百科. http：//baike.baidu.com/view/86609.htm 7月15日.endprint