基于“三个理解”的教学设计与立意阐释

严莉

[摘 要] 在数的乘方与开方、二次根式的性质之后，二次根式的运算是先学习乘除，再学习加减，这与数的运算、整式运算的学习顺序都不太一样，教学时要引导学生回到二次根式的性质、乘方与开方的依据来思考、发现与推证出新的运算法则，并根据运算法则准确计算与化简，故该课时的教学重点是推证和应用二次根式的运算法则，难点是理解新法则推证过程中的算理.

[关键词] 二次根式的乘除；运算法则；成果

二次根式的运算关乎勾股定理的计算，且对后续一元二次方程的解法，二次函数中的变形与运算都起着奠基作用，教学时要引起高度重视特别是教学二次根式的起始课，要注意引导学生归纳二次根式的乘法法则，追问算理、推证法则，而不是直接告知法则，应培养和渗透理性精神. 本文以“二次根式的乘除（第1课时）”教学为例，先概述教学设计，并跟进解读教学立意.

5. 教学环节五：课堂小结，加深理解

小结问题2：二次根式运算或化简的最后结果要注意什么？

预设：（1）被开方数不含字母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

教学立意的跟进阐释

1. 理解数学，准确定位课时目标，教学围绕目标有序展开

二次根式的乘除是在前面已学习数的开方、二次根式的性质基础上进一步学习二次根式运算的起始课，与前面不少运算学习的经验不一样的是，有理数、实数、整式运算都是先从加减开始，再学习乘除运算，而二次根式的运算却是先从乘除学习，所以这里需要理解前后数学内容学习方法和顺序的区别，辨析清楚教材为什么这样安排，这与二次根式运算的特点有关. 基于上述认识，我们认为本课时的教学目标可以拟定为以下几点：

经历观察、比较的过程，发现二次根式的乘法运算规律，通过推理论证，生成二次根式的乘法法则；

运用等式的对称性，建构二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的互逆关系；

正确运用二次根式的乘法运算法则进行简单的计算和化简.

这一课时的教学重点应该是二次根式乘法法则的生成过程，并且要让学生正确运用二次根式乘法法则进行简单的计算和化简.

2. 理解教学，预设系列教学活动，通过追问促进成果扩大

在教学目标、重点与难点确定之后，就要预设各个教学活动与教学环节，通过系列教学问题情境驱动课堂教学，并且通过各个教学问题呈现之后，跟进教学追问，促使学生成果扩大，自主建构新知. 比如，在特例引路，发现二次根式乘法规律之后，还需要引导学生在已有算法依据的情况下推证出性质，并成果扩大，证明其一般规律，自主建构二次根式乘法法则. 特别地，为了促进学生深刻理解，我们应引导学生逆向思考，对二次根式乘法法则从正反两个方面进行理解、辨析. 这里，还可以引导学生与整式乘法和因式分解之间的关系进行类比，比如学生熟悉的平方差公式、完全平方公式，它们就分别是“从左往右”逆过来“从右往左”的公式形式.此外，角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）与角平分线的判断（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），也是可以看成互逆的性质，可将这些作为类比教学的例子，让学生进行对比、感悟.

3. 理解学生，设计必要同类运算，加深对运算法则的理解

我们的教学对象是学生，所以需要基于理解学情的基础上開展各个教学环节的设计. 一方面，在新知探究、性质归纳与证明时，可从学生最近发展区出发，追问学生每一步变形的依据时要注意回到之前学过的一些性质、依据，使得新知由旧知发展而来，让数学知识在一条主线上自然生长. 一般地，数学运算新的法则学习之后，理解新知、运用新法则时，不同的学生会表现出不同的适应性，这里需要跟进一些必要的、典型的例、习题进行有序训练，在训练过程中，要注意观察学生运算中出现的一些问题，比如用错法则、跳步出错或者符号出错等，课堂上要注意及时找到这些“反例”，用好“生成性错例”，并通过投影等方式，让学生参与纠错，这样便可以加深学生对法则的理解.

写在后面

近年来，章建跃博士提出的“三个理解”在广大一线教师中得到广泛响应，体现在很多教学设计研究、命题研究中，而这些与著名特级教师李庾南老师提出的基于理解数学前后联系的“学材再建构”观点也是深度契合，想来这也值得我们深入学习和实践. 本文以“二次根式的乘除（第1课时）”教学为例，实践才刚开始，有待深入，期待更多的同行实践跟进，批评研讨.endprint