用GeoGebra呈现理想气体状态方程的三维图景*

盛宝骥

(南京师范大学附属中学 江苏 南京 210003)

用GeoGebra呈现理想气体状态方程的三维图景*

盛宝骥

(南京师范大学附属中学 江苏 南京 210003)

通过GeoGebra软件绘制了理想气体状态方程的三维立体图，并在三维图中分析了教学中常见的等温线、等压线、等容线，为理想气体状态方程提供了另一种教学视角.

GeoGebra 理想气体状态方程图像 双曲抛物面

1 课后反思

人教版教科书高中《物理·选修3-3》第八章“气体”[1]有较多图像的理解与应用，例如在p-V图中比较不同温度的等温线，同时在p-V图、V-T图、p-T图中表示一定质量气体经历的等压、等温、等容的循环过程.笔者发现无论是哪一幅图，都是二维平面图，而理想气体状态方程有3个状态参量，能不能用三维图像呈现p,V,T之间的关系呢？下文是笔者围绕这个教学反思进行的思考与尝试.

2 逐步成型

2.1绘图软件的选择

Mathematica,Matlab和Maple是目前主流的科学计算软件，均可以绘制方程的三维图像，但是考虑到这3款软件专业性较强，绝大部分中学教师和学生不具备相应编程基础，门槛高难度大,通过与数学教师的交流，笔者最终选择了GeoGebra这款软件，该软件不仅操作简单，在PC端和MAC端均有正版免费下载软件，更适合在中学教师和学生中推广应用.

2.2方程的选择

(1)

图1 三维坐标与状态参量的对应关系

2.3形成三维曲面

打开GeoGebra，在【视图】中选择【3D绘图区】，将式(1)输入到软件下方的文本框中，理想气体状态方程的三维空间曲面就绘制出来了，如图2所示.

图2 理想气体状态方程的三维空间曲面

几何的面是由点组成的,曲面上每一个点的三维坐标对应气体的温度、压强、体积，一个点对应一个气体状态.曲面包含了一定质量气体遵循理想气体状态方程所有可能的状态.软件操作者可以点击右键拖动或旋转图像，这样就可以从不同角度观察立体图像，如图3所示.

(a)

(b)

在软件的代数区自动显示了所绘函数的名称——双曲抛物面，双曲抛物面由于形似马鞍，又称马鞍面(图4).

图4 双曲抛物面与马鞍面

3 联系与拓展应用

3.1对比二维平面图

虽然理想气体状态方程的三维图像给人眼前一亮的感觉，但是教学中学生熟悉的等温线、等压线却看不见了，必须将这些熟悉的线找出来.

图5 200 K等温线

通过选择从热力学温度轴(即y轴)视角观察，就可以清楚地看到我们熟悉的200 K的等温线，用相同的方法，笔者绘制了300 K的等温线，与教学中温度高的等温线在外侧的结论是一致的(图6).

图6 200 K,300 K等温线对比

笔者用相似的办法进一步绘制了等压线和等容线(图7)，图像呈现出的规律与教学中的相关结论也是一致的.

图7 不同体积等容线对比

3.2循环变化的立体图

【原题】已知一定质量的理想气体状态发生变化，由状态1→状态2→状态3→状态1，完成了一个循环，用V-T坐标系把这一循环过程表示为如图8所示．如果改用p-V坐标系或p-T坐标系表示这一循环，下列哪些图是正确的?( )

图8 原题题图

答案：B,C.

这样一个循环过程能不能在三维坐标系中呈现呢？首先笔者对3个状态的温度、体积、压强赋予具体数值,如表1所示.

表1 3个状态参量的倍率关系

然后笔者将物理方程转换为数学函数关系，分别用交点A,B,C表示3个气体状态，这样这个循环过程的三维图像就呈现出来了,如图9所示.

图9 循环变化的三维图像

这个循环过程的图像是由一段双曲线和两段直线所组成的立体图，调整观察视角从x轴(温度轴)角度观察立体图，与p-V的关系是一致的，从另外两个轴观察，与p-T，V-T的关系也是一致的，如图10所示.

图10 不同视角下的循环变化图像

4 总结与感悟

笔者通过对课后反思的深度思考，结合GeoGebra软件，建立数学模型，将理想气体状态方程原本的空间图像呈现了出来，并且与传统二维平面图形进行对比验证，还拓展到气体状态的循环变化.

对于今后的教学而言，教师也可以先呈现三维图像，然后代入特点条件，逐步演绎出等温线、等压线和等容线.教师也可以选择在单元复习的时候利用以上教学资源，提供一个不同的视角看熟悉的问题.这样的优点是可以将原来繁杂的二维图像归纳汇总到同一个三维图像中，起到画龙点睛的效果，也更符合人教版教材中知识点的编排顺序.

1 人民教育出版社，课程教材研究所,物理课程教材开发中心.普通高中课程标准实验教科书 物理·选修3-3.北京：人民教育出版社,2010.23～25

2 Morphett A, Gunn S, Maillardet R. Developing interactiveapplets with GeoGebra: processes, technolo-gies. Proceedings of Elephant Delta ′15[C]. Port Elizabeth, 2015

PresentingtheThree-dimensionalPictureoftheStateEquationofIdealGasUsingGeoGebra

Sheng Baoji

(High School Affiliated To Nanjing Normal University，Nanjing, Jiangsu 210003)

In this paper, the three-dimensional image of the ideal gas state equation is drawn by GeoGebra, and the isotherm、iscxhare and isobars are analyzed in the three-dimensional graph, which provides another teaching perspective for the ideal gas equation.

GeoGebra; ideal gas state equation image; hyperbolic paraboloid

2017-07-27)

**南京市教育规划课题第九期个人课题,项目编号：“十三五”个(9)字第OK2900号

盛宝骥(1980- )，男，中教高级，主要从事高中物理教学和物理实验研究.