GeoGebra在解决原始物理问题中的应用

殷正徐

摘 要：GeoGebra是一套功能强大的教学软件，可以深入探讨原始物理问题，有助于优化物理模型和拓展原始物理问题的解集，尽可能地发挥原始物理问题的教育教学价值。

关键词：GeoGebra；原始物理问题；物理模型；物理习题

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）10-0055-4

1 原始问题及其解决过程

所谓原始问题，是指自然界及社会生活、生产中客观存在且未被加工的物理问题。[1]如：“据报道，1980年一架美国超音速战斗机在威克夫地区上空与一只秃鹰相撞，飞机坠毁。试估算秃鹰对飞机的冲撞力。”原始问题来源于学生生活的现实世界，是自然中真切发生的事件，使学生倍感亲切而有趣，容易激发其好奇心和求知欲。同時，原始问题源于生活，本质与非本质相互交织，形式与内容扑朔迷离，需要经过分解、简化、抽象等思维加工才能建立模型，常常伴随着直觉、想象等非线性思维，既能培养学生的常规思维又能培养学生的创新思维，既能培养学生的认知能力又能培养学生解决实际问题的能力，从根本上杜绝“高分低能”的不正常教育现象。

传统物理问题通常将实际问题进行了人为加工、简化与抽象，使之成为理想化的抽象问题，由于经过简化与抽象，使之成为理想化的抽象问题，即研究理想的物理模型、理想的物理过程。[2]

图1既包含了原始物理问题和物理习题的关系，也包含了原始物理问题的两个解决过程。第一过程是对物理原始问题的概括与抽象，即对原始问题模型化。在此过程中，需要从物理现象的描述中概括出物理原始问题，通过分解、简化、抽象、分类、理想化以及联想、直觉等思维建立物理和数学模型。还需要结合具体情景和生活经验设置相应的参量，运用相关知识和规律进行初步分析，对得到的模型进行简并和优化。由于学生的认知结构和经验存在差异，对问题概括、认知深度和模型建立存在差异，这是原始问题的发散性造成的，有利于不同层次学生实现差异化学习。此过程也就是将原始物理问题转化为物理习题的过程。第二个过程就是物理问题的解决过程，学生通过联系所学的物理知识，利用数学工具和信息技术对抽象出来的物理问题进行分析、推导、演绎和计算并得出结论。

2 GeoGebra在解决物理原始问题中的可行性分析

2.1 GeoGebra简介

GeoGebra 是一套结合几何、代数、数据表、图形、统计和计算的动态数学软件，同时具有处理代数与几何的功能。一方面，GeoGebra 是一个动态的几何软件，可以在上面画点、线段、直线、向量、多边形、圆锥曲线，甚至是函数，并且可以改变它们的属性；另一方面，可以直接输入函数和点坐标，GeoGebra 也有处理变量的能力（这些变量可以是一个数字、角度、 向量或点坐标），它也可以对函数作微分与积分，找出方程式的根或计算函数的极大、极小值等。这些特性，解决了传统教学的难点，可以充分发挥教师的教学思想。GeoGebra具有操作简单、开发课件速度快的特点，它能创造适当的物理情景，帮助学生深刻理解物理规律，有效突破教学难点。

2.2 可行性分析

（1）有利于物理模型的建立

原始问题源于实际，但学生未必了解具体情景，学生只有清晰情景才有可能正确建立模型，如果仅靠传统的“粉笔+黑板”就显得力不从心。GeoGebra具有良好的图形显示功能和动画功能，可以为课堂提供丰富、生动的教学情境，可以把原始物理问题中各种复杂的物理过程（多种条件都在变化）实时地展现出来，学生通过观察运动的物理过程建立相应的过程图景，学生容易从中鉴别哪些是主要因素，哪些是次要因素，从而有助于物理模型的建立。

（2）有利于物理习题的解答

在原始物理问题中，需要处理的数据一般比较繁多。若采用手工计算和作图，不仅费时费力而且误差较大。此外，因操作者及外界因素的影响，即使不同操作者在同一时间或者同一操作者在不同时间处理同一组数据时，得到的结果也是有差异的。此时，如利用GeoGebra图形化、直观化、易操作性等特性，以及数据统计、计算和曲线拟合的功能，则能使物理实验数据处理更加科学、规范、准确、便捷。

3 应用实例

下面以“据报道，1980年一架美国超音速战斗机在威克夫地区上空与一只秃鹰相撞，飞机坠毁。试估算秃鹰对飞机的冲撞力。”为例，阐述GeoGebra在原始物理问题教学中的应用。

3.1 建立模型

模型化是解决原始问题的关键所在。所谓建立模型，就是对原始问题进行科学的抽象化处理，抓住主要因素，忽略次要因素，得到一种能反映原物体本质特性的理想物质。在本例中，通过分析和综合，借助直觉、联想可得：秃鹰撞上飞机以后，飞机以几乎不变的速度继续飞行，而秃鹰被撞“扁”而紧贴在飞机上，由此建立飞机与秃鹰非弹性碰撞的过程模型。飞机受力复杂，可以转换秃鹰为研究对象。由牛顿第三定律可知，秃鹰对飞机的冲撞力等于飞机对秃鹰的冲撞力，则F=m，其中Δv为秃鹰的速度变化，Δt为碰撞时间，则Δv=v+v，Δt=。

如果此处忽略秃鹰的速度，则Δv=v，Δt=，问题可以进一步简化，更能彰显模型的抽象意义。秃鹰的速度远小于飞机的速度，从直觉判断可以不计秃鹰的速度，但能否忽略还必须以不影响问题实质为依据，否则估算就容易变成胡猜了，我们可以借助GeoGebra来分析。

由牛顿定律可知冲撞力F=m，考虑秃鹰速度时F=m，不计秃鹰速度时F'=m，两者由于秃鹰速度影响而导致的绝对偏差ΔF=F-F'=m，相对偏差为=，其与秃鹰的质量和身长无关，只与飞机和秃鹰的速度有关。不妨设飞机速度v=500 m/s，由GeoGebra作出-v的图像（如图2），由图可得随着秃鹰速度的增加，相对偏差几乎呈线性增加。由于秃鹰的速度一般不超过15 m/s，即使达到20 m/s，其相对偏差也不到8%，可见本题确实可以忽略秃鹰的速度。但是，这种忽略与之前的忽略有本质的差别，之前的忽略是“跟着感觉走”——如果当年开普勒忽视8′的角度偏差，就不会发现行星运动的三大定律——本题现在的“忽略”则有坚实的数据支撑，是经过科学评估后的忽略。这样的处理既培养了学生的质疑精神和证据意识，也可以培养学生严谨的科学态度，将新课程“核心素养”落到实处。endprint

3.2 问题解答

经过上文分析，有的论文将上述原始问题表征为：一架以300 m/s速率飞行的飞机，与一只身长为20 cm、质量为0.5 kg的飞鸟相撞。设碰撞后，飞鸟尸体与飞机具有相同的速度，而原来飞鸟相对于地面的速率甚小，可忽略不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率除来估算）[3]。

物体模型和运动模型的建立是很好的，但是将秃鹰的质量和身长赋予一个确然的数字，笔者觉得不太妥帖。原始问题来自真实的生活情境，具有生态性、开放性和非线性等特点，如果赋予单一的数值会使原始问题狭窄化，失去它的开放性和趣味性，学生的思维也将从发散回到集中、从非平衡态回到平衡态，大大削弱原始问题的教育教学价值。真实的世界是复杂的，为了体现真实世界的多样性和保留原始问题的原汁原味，飞机的飞行速度和秃鹰的身长应在符合实际的情况下取一定区间的值，而秃鹰的质量则由秃鹰的身长来决定，即m∝l3，如果取秃鹰为立方体模型，则m=ρl3，其中ρ=1×103 kg/m3（地球上动物密度都约为水的密度），由此可得：

F=m=ρl3=ρl2v2

可以看出冲撞力既与鸟的身长有关，又与飞机的飞行速度有关。当飞机速度一定时，秃鹰的身长越大，冲撞力F越大；当秃鹰的身长一定时，飞机的飞行速度越大，冲撞力F也越大。单独考虑任何单一变量都是不全面的，事实上两者都在变，那是什么情形呢？由于涉及一个量关于两个量的变化，所得关系是三维图像，中学生缺乏相应的认知，我们可以借助GeoGebra的3D绘图功能来解决。

在GeoGebra软件中打开3D绘图区和表格区，为飞机飞行速度和秃鹰身长赋予一系列特殊的值，利用GeoGebra中表格区计算功能可得对应的冲撞力（如表1所示），选择身长、速度和冲撞力三列数据，创建“点列”，即可在3D视图中描出对应点，显示冲撞力F随v和l的变化情况（如图3）。为了展示此原始问题的全貌，利用GeoGebra的“曲面”命令，在指令栏输入：“曲面[u， v， 103 u2 v2， u， 0.2， 1， v， 500， 800]”，得到冲撞力随v和l的变化3D曲面，如图4所示，拖动图像旋转坐标系，从另一视角观察图像，得到图5。得到的曲面可以全方位立体式地呈现冲撞力与身长和速度之间的关系，在模型化以后仍然保持了原始问题的“血肉”，培养学生从多角度多层次动态认识问题的能力，体会客观世界的纷繁复杂和物体之间的相互联系。

4 小结与感悟

原始物理问题较之物理习题的突出优点在于，它能够打破学生思维中的平衡状态，深化学生的思维，使之始终处于非平衡状态，提高学生的直觉、想象、抽象等非逻辑和比较、分析、综合、抽象等逻辑思维能力。但笔者发现大部分相关论文只是将原始物理问题降阶为传统习题及在此过程对学生思维的培养作用，生成传统习题以后的处理与传统方式完全一致，失去了原始物理问题的部分“原始”味，其根本原因是教育技术的缺席。微课、慕课、翻转课堂等研究层出不穷，可见教学研究者并非不重视教育技术的应用，只是不愿在习题教学中应用。由于人们对“题海战术”的学习方式感到厌恶，因此对物理习题的教学研究的好感也逐渐降低，而竭尽能事地大书特书“概念课”“规律课”教学，似乎上好这些课物理习题就能自动解决，这是对习题教学的轻视与误解。本文借助GeoGebra教学软件，丰富了原始问题的解决过程，在模型化的同时保留了问题的开放性和生态性，提高了原始物理问题的教学价值。

参考文献：

[1]刑红军.论原始物理问题的教育价值及其启示[J].课程·教材·教法，2005（1）：56-61.

[2]耿宜宏，杨国庆.基于IYPT培养学生物理学科核心素养的实践与思考[J].物理之友，2016（5）：1-5.

[3]王静.高中学生解决力学原始问题与物理习题的比較研究[D].北京：首都师范大学硕士学位论文，2005.

（栏目编辑 王柏庐）endprint