实变量复值函数的连续性

□陈欢

（陕西国际商贸学院基础部陕西咸阳712046）

实变量复值函数的连续性

□陈欢

（陕西国际商贸学院基础部陕西咸阳712046）

本文研究了复值函数的分析性质,给出复值函数的极限与有界性定义。提出了复值函数连续、左连续、右连续、区间连续的概念。给出了复值复合函数的概念。

复值函数；复合复值函数；复值函数连续；有界性

将实值函数进行傅里叶变换得到复值函数。傅里叶变换在信号处理，图像处理以及微分方程求解中有广泛的应用，复值函数的研究并不像实值函数那么深入。对复值函数研究是必要而有意义的。本文提出了复值函数连续的概念，讨论复值函数的连续性，给出了复值函数在求解中的应用例子。

1 复值函数的概念

根据实值函数的概念，引入复值函数的概念与复合复值函数如下：

定义1.1[3]设y=φ(t)和y=ψ(t)是区间[α,b]上的实函数，是虚数单位，如果对于区间[α,b]中的每一个实数t，有唯一复数z(t)=φ(t)+iψ(t)与它对应，则称在区间[α,b]上给定了一个复值函数，记作z=z(t)，t∈[α,b].

定义1.2（复合复值函数）设有一个复值函数w=f(u)与实函数u=φ(t)

记E*={t|φ(t)∈D}∩E。若E*不为空，则对每一个t∈E*，可通过实值函数u=φ(t)对应D内唯一的一个值u，而u又是通过复值函数f(u)对应唯一的一个值w。这就确定了一个定义在E*上的复值函数，它以t为自变量，w为因变量，记作

称为复值函数f(u)和实值函数φ(t)的复合函数，并称f(u)为外函数，φ(t)为内函数，u为中间变量。复值函数f(u)和实值函数φ(t)的复合运算也可记为f°φ。

定义1.3设z(t)=φ(t)+iψ(t)是定义在区间[α,b]上的复值函数，若φ(t)和ψ(t)均是[α,b]上的有界函数，那么称z=z(t)是[α,b]上的有界复值函数。

还可以按照下面的方法刻画它的有界性：设z=z(t)是定义在区间[α,b]上的复值函数，若存在正数M,使得对每一个t∈[α,b]有

则称z=z(t)是α≤t≤b上的有界复值函数。

2 复值函数的连续性

连续性不仅是实值函数的重要性质，也是复值函数的一个重要性质。本节给出复值函数极限，连续的定义，讨论它们的性质。

定义2.1（复值函数极限的ε-δ定义）设复值函数z=z(t)在区间[α,b]上一点t0的某个去心邻域U0(t0;δ')内有定义，A为一个确定的复数。若对任给的ε＞0，存在正数δ(＜δ')，使得当0＜|t-t0|＜δ时，有

则称复值函数z=z(t)当t趋于t0时以A为极限，记作

利用实函数极限给出复值函数极限的一条性质。

性质2.1[3]复值函数在t趋于t0时有极限的充分必要条件是它的实部与虚部在t趋于t0时有极限。

定义2.2[3]设复值函数z=z(t)在区间[α,b]的某个邻域U(t0)上有定义，若

则称z=z(t)在点t0连续。

性质2.2复值函数在t0点连续等价于它的实部与虚部在t0点连续。

证⇒由复值函数z(t)=φ(t)+iψ(t)在t0点连续知

⇐由实函数φ(t)，ψ(t)在点t0连续知

定义2.3（在区间上连续）如果复值函数z=z(t)在区间(α,b)上的每一点都连续，且在α点右连续，在b点左连续，那么就称复值函数z=z(t)在区间[α,b]上连续。

例证明z(t)=t+it2在[-1,1]上连续。

证任取t0∈(-1,1)，因为，所以z(t)在(-1,1)上每一点都连续。又因为，所以z(t)在(-1,1)上连续。

定理2.1若复值函数z=z(t)在t0点连续，则它在t0的邻域内局部有界。

定理2.2若复值函数z=z(t)在[α,b]连续，则它在[α,b]内有界。

结束语

本文关于复值函数的连续性首先引入复值函数的概念，给出复值函数的连续与极限的概定义，连续性也是复值函数的一个重要性质。本文还给出了复值函数的左右连续、在某一点连续、区间连续等多个概念，具有重要的应用价值。

[1]华东师范大学数学系.数学分析.第四版.上下册.北京：高等教育出版社，2010.

[2]苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换.第二版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程.第三版.北京：高等教育出版社，2006.

Properties of complex-valued functions with real variables

CHEN Huan

(Dept.of Fundamentals,Shaanxi Institute of International Trade&Cmmerce,Xianyang,712046)

This paper studies the analysis proper ties of complex valued functions,and puts forward the concept of complex valued functions continuous,lef t continuous,right continuous and intervals continuous.The properties of complex valued function are given.The appl ication of complex valued function in the solution is given.

complex value functions;Complex complex valued function;Continuous value function;Property of complex function

1004-7026（2017）20-0130-02

O211.5

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.20.102

陕西国际商贸学院校级项目（SMXY201642）。

陈欢（1989-），女，陕西汉中人，硕士，助教,从事小波分析的研究。