让学生经历“反问题”的思考

【摘 要】反问题源于数学家的数学研究，在数学课程内容中也大量存在，典型案例之一是鸡兔同笼问题。充分挖掘这样的内容，将其融入到数学教学中，让学生经历反问题的思考，可以沟通不同问题之间的联系，使得学生逐步形成“反之如何”的思维方式，对于提高学生的思维水平，促进学生各个学科的学习，都有所裨益。

【关键词】反问题 鸡兔同笼 反之如何

美国斯坦福大学的数学家约瑟夫·凯乐（Joseph Bishop Keller ：1923-2016）在1976年2月的《美国数学月刊（The American Mathematical Monthly）》上，发表了一篇题为“反问题（Inverse Problems）”的文章①，提出了反问题的概念，并用实例说明了反问题在数学研究中的重要性。

数学中的任何问题，无论难易，无论简繁，都不可能是孤立存在的，都会存在与之相关的其他问题。将数学研究中对于反问题的思考方法运用到数学课程与教学中，对于沟通数学课程中问题之间的联系，让学生逐步习得事物之间普遍联系的观念，会有所裨益。

一、用“鸡兔同笼”理解反问题

鸡兔同笼问题源于我国古代算书，引入小学数学课程后，呈现出一种“孤立”的特征，与数学课程其他问题和内容似乎并没有直接的联系，其数量关系和解决问题的方法似乎并不具有普遍性。如果采用反问题的思考方法，就可以发现鸡兔同笼问题与其他问题之间的联系。

学生在学习了加法和乘法运算后，对于下面的问题1应当不会感到陌生和困难。

问题1：笼中有3只兔和5只鸡，问：

（1）鸡和兔一共多少个头？解答：3+5=8（个）

（2）鸡和兔一共有多少条腿？解答：4×3+2×5=22（条）

这个问题中，已知信息包括“兔只数”和“鸡只数”，问题目标（问题答案）包括“总头数”和“总腿数”，解决问题应用到了加法和乘法运算。从已知到未知的思考和解决问题的过程可以用图1直观地表示出来（见图1）。

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图1 问题1示意图

所谓反问题的思考，就是将一个问题改变为一个或几个新问题。改变的方法是把原问题的全部或者部分答案的内容改变为已知信息的内容，把原来全部或部分已知信息的内容变为新问题中答案部分的内容。因此就会产生与原问题相关联的新问题。比如可以将问题1改变为问题2。

问题2：笼中有若干只兔和若干只鸡，已知兔和鸡一共有8个头，一共有22条腿。问：兔和鸡各有多少只？

问题2的已知信息中包括兔和鸡的“总头数”和“总腿数”，问题目标（问题答案）包括“兔只数”和“鸡只数”。这样的表述方式与数学教科书中所说的“鸡兔同笼”问题基本一致。这样的问题对于学生来说，相对于问题1就显得陌生和困难。问题2的解题方法很多，基本的算式可以是：

兔只数：（22-2×8）÷（4-2）=3（只）

鸡只数：（4×8-22）÷（4-2）=5（只）

解决问题需要用到的运算包括了减法、乘法和除法，较之问题1显然复杂了很多。可以用图2表达出问题的结构和思考的过程。

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][？8

][？22

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图2 问题2示意图

与图1对比看，问题2的思考过程与问题1的思考过程恰好是相反的。问题1的已知信息中包含着问题2中答案部分的内容，问题2的已知信息中包含着问题1中答案部分的内容。类似于此的两个问题，其中之一往往是为人们所熟悉的，相对简单的，而另外一个往往是陌生的，有一定困难的。因此就把前者叫作“原问题（Direct Problem）”，后者叫作原问题的“反问题（Inverse Problem）”。因此，可以说，“鸡兔同笼”问题实质上是学生所熟悉的问题1类型的反问题。

二、从反问题思考到“反之如何”思维

数学中，类似于此的反问题是很普遍的。比如在低年级数学课程内容中，如果把问题“湖面上有28只天鹅，飞走了5只，问：还剩多少只天鹅？”看作是原问题，那么下面的两个问题就可以成为它的反问题。

l湖面上有一些天鹅，飞走了5只，还剩23只，问：湖面上原来有多少只天鹅？

l湖面上有28只天鹅，飞走了几只后还剩23只，问：飞走了多少只天鹅？

再比如在图形与几何课程内容中，如果把“已知圆的半径求圆面积”看作是熟悉的原问题，那么“已知圆面积求圆的半径”或者“已知圆面积求圆周长”，就成为它的反问题。

实际教学中，除了关注这些问题如何解决之外，还可以让学生经历提出反问题的过程，通过观察和比较，思考并讨论这些问题之間的关系、解题方法之间的关系。这样的活动对于学生发现并辨别问题之间的联系，逐步熟悉对于反问题的思考会起到积极作用。经常性地经历反问题的思考，学生就会逐渐形成“反之如何”的思维方式，这种思维方式无论是在学习中，还是在日常工作生活中，都有着广泛的应用。

比如，在学习了“因数”概念之后，学生首先熟悉的是“已知一个数，求出其因数”的问题。这样的问题相对简单，已知4，通过列举的方法就可以知道4的因数有：1，2，4。因此得到结论：4有3个因数。如果有了“反之如何”的思维习惯，这个时候就会反过来思考下面的问题：

l有3个因数的数只能是4吗？

通过试验可以发现像9、25这样的数也都有3个因数，因此可以得到一个新的结论，有3个因数的数有很多。进一步还可以思考：

l有3个因数的数究竟有多少个？它们有什么共同的规律吗？

通过诸如此类问题的思考，最终可以得到关于“平方数”与其因数个数关系的结论，即“正整数为平方数的充分必要条件，是其因数个数为奇数”。这样的结论都是“初等数论”学科中的重要定理。

初中数学课程中所学习的所谓“性质定理”和“判定定理”，其实也是“反之如何”思维方式的产物。如果通过观察发现：长方形两组对边长度相等，并且四个内角都是直角。“反之如何”的思维就会带来一个问题：两组对边长度相等，并且四个内角都是直角的四边形一定是长方形吗？前面问题描述的是长方形自身所具有的性质，因此叫作“长方形的性质定理”。后面问题关注的是一个四边形在什么条件下能够成为长方形，因此其相应的结论就叫作“长方形的判定定理”。在小学数学学习中，让学生经常经历反问题的思考，对于学生今后的数学学习会起到奠基作用。

“反之如何”作为普适性的思维方式，在其他学科的学习中也会产生积极作用。英语学习中，当学生知道了“Thank You”的说法可以对别人表示感谢的意思之后，运用“反之如何”的思维方式，自然的反问题就是：如果想表达对别人感谢的时候，用英语还可以怎样说？（答案：Appreciate等）任何语言都具有丰富性的特点，也就是表达一个意思的时候，可以有多种不同的表达方式，因此语言学习的一个重要目的是能够习得并使用这些不同的表达方式。如果学生自己产生了想知道“还可以怎样说”的愿望，自然就会采用各种可能的方式，自主地去开展学习活动。

三、反问题导致研究的深入

相对于原问题，反问题往往不是唯一确定的。与问题解决者自身的经验以及思维目标直接相关。比如对于数学教师，在“鸡兔同笼”问题备课中，就会思考怎样的数据更加适合自己学生的水平。因此就希望知道笼中鸡和兔的总只数和总腿数这两个条件是什么关系，是不是相互独立的。如果是相互独立的，就意味着这两个条件可以随意给出。如果不是相互独立的，就说明给定一个数据时，另一个数据必须有一个取值范围。如果把前面鸡兔同笼问题1看作原问题，运用反问题的思考，还可能产生下面的问题3。

问题3：若干只鸡和若干只兔关在同一个笼子中，如果鸡和兔共有8只。那么鸡和兔的总腿数应该满足什么条件？

问题3的已知信息中同样包含问题1答案部分“总只数”的内容，因此同样可以视为是问题1的反问题。不同的是更具有一般性，而且期望的问题目标和解决的方法不同了。首先容易发现鸡和兔的总腿数应该是偶数。问题目标可以分解为如下的三个问题：

l鸡和兔的总腿数最大可能是多少？

l鸡和兔的总腿数最小可能是多少？

l鸡和兔的总腿数共有多少种不同的取值？

总腿数最大的情况其实就是只有1只鸡，其余7只都是兔，这时总腿数为：

2+4×（8-1）=30（条）

总腿数最大的情况是只有1只兔，其余8-1只都是鸡，这时总腿数为：

4+2×（8-1）=18（条）

总腿数可能的取值就是介于18和30之间的全部偶数，列举出来分别是：

18，20，22，24，26，28，30

这样的结论对于命题者是有用的，如果确定总只数是8，那么总腿数不能随意给出，只能是上面7种可能中的一个。前面问题2就是总腿数为22的情况。如果首先确定总腿数，还可以研究总只数的可能性。

问题4：若干只鸡和若干只兔关在同一个笼子中，如果其中的鸡和兔共有22条腿。那么鸡和兔的总只数应该满足什么条件？

与前面问题类似，只要对下面三个问题给出答案即可。

l鸡和兔的总只数最大可能是多少？

l鸡和兔的总只数最小可能是多少？

l鸡和兔的总只数共有多少种不同的取值？

鸡和兔的总只数最大的情况就是只有1只兔，其余都是鸡。这时鸡和兔的总只数为：

1+（22-4）÷2=10（只）

鸡和兔的总只数最小的情况就是只有1只鸡，其余都是兔。这时鸡和兔的总只数为：

1+（22-2）÷4=6（只）

因此鸡和兔的总只数的取值范围就是从6到10的一切自然数，共有5种可能性。前面问题2就是其中总只数为8的情況。

问题3和问题4的研究表明，“鸡兔同笼”问题中，“总只数”和“总腿数”这两个条件并非相互独立，而是相互依赖与制约的。类似这样关于不同条件之间关系的研究，对于全面、深入地理解问题是有益的。

参考文献：

[1]KELLER J B. Inverse Problems[J]. The American Mathematical Monthly.1976，83（2）：107-118.

[2]郜舒竹. 问题解决与数学实践[M]. 北京：高等教育出版社，2012：30.

（首都师范大学初等教育学院 100048）endprint