“鸡兔同笼”岂能再被“笼”住呢

李永梅

摘 要 “鸡兔同笼”问题作为一节数学思维拓展课，既充分的体现了数学文化，又具有充分的数学思维，是一节无数人研究过的课。大都从课题本身找到很好的视角进行教学，但似乎都显得视野狭窄。本文记录的这位授课教师，从渗透数学文化的全新的视角，来诠释“鸡兔同笼”；充分利用现代信息技术手段，发挥学生学习的主动性，引导自学——展示——交流——质疑——拓展，发展了学生的数学核心素养，培养了学生理性的数学分析能力，逻辑思维能力和综合概括的能力。此课的重新构建，既充分的凸显了数学文化课的特点，又冲出了“鸡兔同笼”内容本身的教学藩篱，创造了很多培养学生数学素养的机会，更加的契合时代的发展和数学教学改革的现实。而我，试图对此进行抛砖引玉式的赏析。

关键词 “鸡兔同笼”问题 赏析

中图分类号：G623.5 文献标识码：A

1课前设疑激趣，制造悬念

（1）师出示鸡、木马和板凳图片。师生对话后，出示“木马板凳三十三，百个脚儿地上站。要知数量各几何，聪明脑袋转一转。”

（2）揭示课题。

师：大概在一千六百多年前，《孙子算经》也记载了一个跟板凳木马类似的问题，这就是非常著名的“鸡兔同笼”。（出示视频，板书课题。）

賞析：看似与课堂无关的鸡，因为老师故作神秘卖关子，又因为期待和真实，制造了幽默搞笑的效果，课堂气氛轻松愉悦。带着木马板凳的问题开始，对课充满期待。

2交流课前学习成果，多维对话

小组交流——全班交流——教师补充呈现。

2.1小组交流

师：课前，老师给大家发了自主研究单，你们回去都是怎么学习鸡兔同笼问题的呢？

生：我是根据老师你发的教材自学的，不懂的地方还请教了妈妈。

生：我是在电脑上学习的，看了网易课程。

生：我是看了老师你发的微课，然后还读了书。

师：真好，你们通过这么多途径学习了“鸡兔同笼问题”，学习能力不错！现在请把你的学习成果，在小组长的安排下按顺序发言，在小组内交流一下吧。

赏析：对课前学习方式的交流，是在引导学生，让他们懂得学习的方式有很多种，面对陌生的任务时，可以请教，可以查阅资料，可以借助电脑远程学习，还可以看微课等等。这种引导在互联网+的时代，是非常必要且及时的。将自己的学习成果，在四人小组内交流分享，能满足不同学习层次孩子的心理需要，通过分享交流，补充和修正自己的学习成果，锻炼组织语言的能力。让发展稍微滞后的学生首先发言，无疑取长补短。

2.2全班交流

呈现学生的自主研究单，主要对列表法、替换法、画图法进行交流。

生1：我用的是列表的方法。首先我假设是1只鸡和7只兔，算出来脚一共有30只，不合题意。又假设有2只鸡6只兔，一共有28只脚，也不对。就这样试下去，最后3只鸡5只兔，刚好合适。你们看明白了吗？有什么疑问没有？

生：你怎么知道鸡是3只的呢？

生1：我是一个一个试出来的。

生：如果你这个方法，鸡有50只的话，不麻烦吗？

生1：这个方法是在头比较少的时候，只有8个头，所以一个一个试。

生：好吧，我明白了。

生1：同学们还有没有其它的问题。

生：没有。

师：这位同学用列表的方法，想想看，他是怎么找到答案的呢？

生：他是先假设鸡和兔的只数，一个一个试，不对的就继续试，找出来的。

师：你很善于总结，他是先假设，然后尝试，在尝试中排除不合适的，最后解决了问题。这种方法非常好。

赏析：这是一段精彩的生生、师生对话。有生生之间对列表法的解释、质疑，在质疑中学生的思维得到了碰撞，学生明白了列表法能够解决问题，但也有局限。更重要的是，教师对学生用列表法思维方式的引领，让学生学会回头看，进行思维品质的培养。

生3：我用的是替换的方法。首先假设全部是，那么脚只有16只。但是题目里面说有26只脚，就少了10只脚。一只兔假设成鸡，就少了2只脚，所以10除以2就是兔的只数。剩下的就是鸡，是3只。我的解释你们听明白了吗？

生：明白了，（没有。） 有部分学生很迷惑。

生：我没听明白你说一只兔假设成鸡，什么的。

（生3支吾着，也不知道怎么解释了。）

生4：老师，我想去帮她。

师：学习中互相帮助，解决问题，是好习惯。

生4（跑上讲台）：大家看，我们可以把8个头全部假设是鸡，我用圆圈表示。然后呢，一个头就只有2个脚（画上脚），这样就还剩下10只脚（他把剩下的10只脚画在旁边），这些剩下的脚，肯定是兔的，因为我们把兔当成了鸡来看。所以把剩下的脚添在鸡的身上，变成了兔，就是5只，鸡就是3只。你们听明白了吗？

生：哦，原来是这样！（恍然大悟状）

赏析：当用替换的方法解决问题的孩子，遇到困难的时候，另外的孩子适时提出帮助，采取在黑板上边画图边讲解的办法，帮助同学理解，为什么10€？就是兔的只数。用画图的方式突破理解上的思维难点，也给其他孩子以启发。这就是学生在充分研究性学习基础上的高效有思维含金量的交流。更重要的是，同伴互助在学习过程中，发挥着巨大的作用。

生：我觉得你画图的方法还是很麻烦，如果数据大了，怎么办呢？

生：是用假设的方法，画图帮助我们思考，如果方法掌握了，就可以把图隐去。

师：同学们，如果我不画图，假设有1000只头，写上1000，你能不能透过数看到1000个头呢？（能）接下来干什么呢？

生：写1000€？。

师：透过这个算式，你能看到什么呢？看到脚了吗？（看到了）那么当头的数量很大的时候，可不可以不画图了呢？（可以了）。

赏析：学生质疑，当感觉到问题不能通过相互启发得到解决的时候，教师及时地参与讨论，帮助判断、解释、讲解、引领。这里教师通过引导学生想象，1000背后头的只数，1000€？后脚的只数，巧妙的由简到繁，由抽象到直观，让学生离开具体的数，看到数背后隐含的思考方法，构建了解决这个问题的初步模型。

生：我还有一个问题，就是你那涂掉的是什么东西？（他是指分别画在3只鸡下面的4只脚，被孩子涂掉了2只，还剩下2只。）

生：这个也是帮助我思考，画错了的。

师：好的，谢谢你们，讲得真好！刚才他们展示的三种方法里，无论是列表，替换，还是画图，都有一个共同的地方，都是先干什么呢？

生：都是先假设，然后再想办法。

师：是的，都是在假设的基础上，通过画图或者替换，来得到解决问题的办法。我们刚才还隐去图，通过想象还原头和脚，发现了解决更大数的办法也是相同的。真是了不起！

赏析：不仅仅停留在解决具体问题的层面，而是第二次引导学生比较方法的异同，让学生在比较中去发现，思考。将不同的方法联通，学生的思维水平面会突然觉得开阔，也慢慢学会用联系的观点去看问题，渗透哲学的思维方式。数学文化课的育人功能在此处得到了初步的凸显。稍微有些遗憾的是，当学生问，那些涂掉的是什么东西的时候，教师没有抓住这个生成的契机，引导学生思考，其实跟假设全部是鸡的思路相同，也可以假设全部是兔。如果抓住这个生成，会有更多精彩。

2.3教师播放视频

介绍从古至今人们解决鸡兔同笼问题的其它方法。

3模型思想拓展延伸，深化提高

师：鸡兔同笼问题传到日本，演变成了“龟鹤问题”，你能从龟鹤问题里面，找到鸡和兔的影子吗？

生：能找到，鸡变成了鹤，都是两只脚。兔变成了龟，都是四只脚。

师：脚的只数没变，我们能找到鸡和兔的影子。那么上课之前，我们提到的木马问题呢，你能找到鸡和兔的影子吗？

生：我发现脚的只数变了，两只脚的鸡变成了三只脚的木马。四只脚的兔没有变，只是换成了板凳。

师：看来，鸡兔同笼问题中，鸡和兔脚的只数还可以变呢！再看看，硬币问题里，你还能找到鸡和兔的影子吗？

生：2分硬币相当于鸡，5分硬币相当于兔，9枚就是头的总数，34分就是脚的总数。

师：太厉害了，这么复杂的你们都能找到藏起来的鸡兔头和脚的只数。

生：我能在第四个材料里面找到鸡和兔的影子。你们看，晴天走35千米就是兔的脚数，雨天走28千米就是鸡的脚数。11天就是头的總数，350千米就是脚的总数。

师：看来我无论放在哪里，你们都能够找到他们。那么在生活，你们能不能找到几个这样的鸡兔同笼的例子呢？

生：蜘蛛、蜻蜓和禅的翅膀和只数。

生：蜘蛛和蝉的翅膀和只数。

师：你们找得真好，老师是教数学的，我只能从数学里面去找，你看，我找到的3x+7y=108 x+y=24，你们在这里面还能不能找到鸡和兔的影子呢？

生：能，x相当于鸡，y相当于兔。

师：看来，你们真的学会了从解决一个问题，变成了解决一类问题，一串问题。这种将不同内容联系起来思考的学习方式，有拨开云雾见日月的感觉吧？祝贺你们的进步！请同学们课后，继续去发现，看还有哪些问题，也可以找到鸡和兔的影子，也能用今天学习的方法去解决它们！

赏析：利用鸡兔同笼的数学模型，将看起来不同的问题，引导学生去掉情境，找到数学思维本质上的相同，然后运用同样的方法解决，巧妙的将一个问题串成一类问题。模型思想的应用在这里得到充分的体现和放大，如抽丝剥茧般的找到数学的核心，然后又在此基础上拓展和延伸，形成了规模效应。这正是数学文化课的最基本特点，着力于数学思想方法和学生数学核心素养的形成和发展，让学生感受到数学史诗般的瑰丽色彩和奇特魅力。

课后赏析：鸡兔同笼”作为我国古老的数学文化遗产，在苏教版和人教版教材中都分别进行了编排。有很多教师对这节课进行过精彩的设计和演绎，但大多数课堂主要是从学科本位上去让学生探讨问题的解决，构建模型，渗透数学思想方法等，在模型应用的思维方式和更深入的育人功能挖掘上，还不够。而于奇文老师执教的“鸡兔同笼”，以数学文化挖掘和渗透的全新视角，放手学生主动探究，用联系的观点引领提升学生思维品质，感受古老经典数学的魅力，师生共生共长，给人启迪。

3.1充分放手，让学生课前进行研究性学习

尝试翻转课堂，让学生对学习内容进行自主学习。建立在此基础上的课堂教学起点更高，也更不好把握。教师让学生进行充分地小组交流，然后全班交流讨论，师生互动，适时点拨。列表法、替换法和画图法，学生的质疑充满了智慧和思考，像“如果是50个头，你这种方法不麻烦吗？”就是这一质疑，将其它学生对这个问题的思考，引向深入。还有“我用画图的方法来帮助我们理解”“你那涂掉的是什么东西？”等，这些话语，无一不是学生思想火花的闪现。正是因为大胆放手，先学后教，重在引导，才成全了孩子们的创造力，发展了孩子们的学习能力和思维品质。

3.2练习巧妙，让学生辨识复杂的学习材料

我对目前听过的近三十节数学文化课进行过分析，发现专题的数学文化课，针对不同类型的教学内容，在练习的设计上，似乎没有常规意义上的数学课那么强调，更重要的是在材料所蕴含的数学思想方法和发展学生的文化内涵上，作大量的挖掘。针对鸡兔同笼问题，于老师的练习也是很巧妙的让学生辨识不同情境中的鸡和兔，巩固鸡兔同笼问题的解决问题模型，拓宽视野，在辨识中引导学生透过表象看本质，从解决一个问题完成到解决一类问题，形成联系的观点，进而发现普遍规律并应用规律。这个环节，渗透着哲学思辨，是不着痕迹的课堂教学的升华，也是数学文化课魅力的展现。

3.3脉络清晰，学生数学素养得到充分提升

整节课，从课前研究性学习，到在小组交流基础上的全班交流展示学习成果，之后教师拓展提升，层层抽丝剥茧，是一节既站在数学学科本位教学之中，又游离之外的既接地气又沾仙气的数学文化课。

关于如何上好数学文化课，是一个新问题，各种不同的尝试，势必带来不同的思考，如何才能既依附数学课程中的基础知识，又更好的挖掘数学文化的内涵，激发学生热爱数学的热情，是一个值得思索的永恒话题。而本节课，无疑做了一个非常好的尝试。