进阶变式最值教学设计漫谈

周培培

(江苏省泰州中学，江苏 泰州 225300)

进阶变式最值教学设计漫谈

周培培

(江苏省泰州中学，江苏 泰州 225300)

变式教学是复习教学的主导方式，进阶式变式教学旨在提升教学的层次性，让学生学习呈现螺旋式上升的一种过程，也为教师教学设计能力的提升提供更多的探索.

变式教学；进阶式；数学；设计；最值；复习

在习得新概念知识之后，学生对新知识处于一个似懂非懂的阶段，因此教师可以通过“进阶式”变式教学的设计、分析帮助学生从抽象的理论知识搭一条通向实践操作的栈道.“进阶式”变式教学能从简单到复杂、从特殊到一般、从单一知识到综合知识，层层逼近、步步提高，做到稳中前进，稳步发展地掌握知识和技能，提高知识的理解和运用能力，使学生对显性知识的掌握能一步一脚印，踏踏实实.“进阶式”变式教学成为复习教学有效、高效的一种良好教学方式.笔者在复习教学中，以多种不同的，类型尝试进阶式变式教学：

一、从浅入深型设计

“进阶式”变式教学的选择要由浅入深、由易到难，由表及里，由浅、易、表的例题先使学生夯实基础知识，在符合学生具体学情的情况下，再逐步提升难度，逐步加大坡度，让学生在能力范围内逐步提高解题能力，同时也可以培养学生的自信，勇于实践探索的精神.由浅入深型是数学课堂教学中巩固显性知识的习得的最实际最有效的途径之一.

例如，二次函数中的恒成立问题是教学的一个重点也是难点，所以在解决此类问题的时候多数采用“低起点，小步快进” 逐步提升难度，逐步加大坡度.

问题1 已知函数f(x)=x2+ax+3-a在R上f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.

分析显然本题二次函数的恒成立属于简单问题，本质是单元最值的求解.在实数集上恒成立可以从函数视角切入，以初中三个二次的基本关系不难判别问题的基本解决思路.

进阶变式1 若x∈[-2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.

分析对于给出给定区间的二次函数恒成立问题，自然难度进阶了，从图形结合的角度来看，以对称轴分类的解决方案应运而生.其设计思路明显将问题1(初中数学问题)——进阶变式1(高中分类角度).

进阶变式2 若x∈[-2,2]时，f(x)≥2恒成立，求a的取值范围.

分析进阶变式2，问题本质与变式1如出一辙，可以作为给学生提供同类型问题训练的设计，教师在此的设计出于巩固目的.

进阶变式3 函数f(x)=x2-2x-3在x∈[a,a+1]上大于等于0恒成立，求a的取值范围.

分析教师在此处的设计显然将问题从“动函数定区间”转换为“定函数动区间”型，显然问题的分类与变式1、2类似，但是问题的变换还是体现了学生是否真正理解为什么需要引入分类的视角，对于“动函数定区间”和“定函数动区间”问题类型的掌握，体现了学生基本问题的理解和运用.

进阶变式4 若对任意的实数x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求k的取值范围.

分析很明显，教师设计变式4的目的是加入了“换元思想”，其本质依旧是变式2，通过转换为t=cosx∈[-1,1]的二次函数模型进行分类求解，学生对于问题的理解可以从思想的角度更进一步.

进阶变式5 已知奇函数f(x)定义在R上，且在[0,+)上是增函数，是否存在实数m使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)，对所有θ∈[0,]都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围；若不存在，说明理由.

分析以抽象函数为背景的设计，将换元二次函数问题包装进入抽象函数的载体之中，运用知识整合的命题设计思路，将问题层层叠加，达到进阶的目的.变式5体现了三个层次：其一是利用函数性质将问题转化为变式4形态；其二是换元思想下的二次函数模型的提炼；其三是问题变式2的基本分类视角.可以说教师精心的层层递进式的设计，旨在提高学生对二次函数恒成立问题的知识理解和思想认识.

二、单一到综合型设计

新概念课程中由于学生初次接触新知识，对其还很陌生，例题的选取应先从应用概念、公式进行判断、辨析、计算等单一知识的实际操作，让学生夯实了双基之后，再尝试进行综合题型的分析.综合题主要涉及代数、几何等相同学科的多方面内容以及不同学科之间的相通内容，所应用的知识和技巧比较多，有助于学生对所学的显性知识融会贯通，起到能力提高的作用，有助于培养学生对知识的综合应用能力.例如

问题2 已知实数x、y满足(x+1)2+(y-3)2=4，求x+y的最大值和最小值.

分析以单一知识进行了两元最值问题的求解，可以从三角换元的视角切入，也可以从几何意义的截距视角分析，属于单一知识型问题.

进阶变式1 求ax+by(a,b为参数)的最大值和最小值.

分析将问题提升到参数级别，其解决方式大同小异.

进阶变式3 求(x+t)2+(y-2t)2(-2≤t≤1)的最大值和最小值.

分析从几何意义的视角来得更为直观，即圆上的点到线段上点的距离的最值问题探讨，参数的引入需要思考其意义何在？知识渐渐从熟知的截距和斜率向综合型知识发散，涉及到距离探索.

进阶变式4 求(x-2cosα)2+(y-sinα)2(α为参数)的最大值和最小值.

分析与变式3类似，但曲线从线段向圆转变，其本质研究量不同圆上双动点之间的距离最值，从单一知识继续向综合型能力拓展.

本问题将最常见的求最值问题整合到一个题根下，汇集了借助于非线性的规划问题；分式结构转化为过定点的直线的斜率问题；动点到动点距离的最值等价到圆心到线段的距离加减半径，最后归结为线段与圆上两动点见距离的最值；圆与椭圆上两动点间的距离的最值.

限于篇幅，笔者就单元最值和两元最值作出了进阶式变式教学的思考，旨在思考如何通过教师的合理设计让学生层层递进的理解最值的求解，如何灵活的将知识进行整合思考，是复习教学有效、高效的尝试.

[1]李渺.如何在数学课堂叫徐中促进学生的思维建构[J].数学教学研究,2012(3).

[2]何聪.一个例题开放式探索课的设计与反思[J].数学教学,2014(4).

[责任编辑：杨惠民]

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1008-0333(2017)24-0013-02

2017-06-01

周培培(1982.06-)，女，江苏泰州人，本科，中学一级,主要从事学校教学工作.