高中数学核心概念教学案例探讨——以《椭圆的标准方程》教学为例

沈 瑜

(江苏省常熟市浒浦高级中学，江苏 苏州 215500)

高中数学核心概念教学案例探讨——以《椭圆的标准方程》教学为例

沈 瑜

(江苏省常熟市浒浦高级中学，江苏 苏州 215500)

本文以苏教版高中数学《椭圆的标准方程》教学为例，探讨了“椭圆”不同设计策略和教学方式.在教学中，教师应关注“过程”，鼓励和引导学生自主探索，突破难点，增强核心概念理解，自主构建数学核心知识体系.

高中数学；核心概念；教学案例

作为连接知识与知识，构成知识体系的核心，数学核心概念对学生学习数学具有重要的支撑作用，是学生数学思维发展、数学能力培养的基础.而《椭圆的标准方程》一直是苏教版高中数学中的重难点知识，不仅包含了模型、数形结合等思想，而且在学习过程中渗透了运算、推理等能力的考察.这就要求教师应建构以核心概念为中心，采用不同的不同设计策略和教学方式，关注“过程”，鼓励和引导学生自主探索，以增强核心概念理解，自主构建数学核心知识体系.

一、探究学习法

1.创设时代背景，引发学生共鸣.高中学生好奇心强，教师应结合时代背景，最大限度地激发学生学习的兴趣.例如，通过视频的形式展示神州十一号飞船与天空2号对接的场景，让学生知道对接后形成的组合体运行的轨迹就是椭圆，从而激发学生对椭圆知识学习的兴趣.

2.总结已学轨迹，提出研究课题.根据已学知识，通过改变已学知识的条件、假设等合情推理出新的研究课题.例如，在讲解《椭圆的标准方程》时，学生已学习过圆、角平分线、线段的垂直平分线等轨迹，笔者从距离、定值等多个角度引导学生提出“到两个定点距离之和是定值的点的轨迹是什么图形”这个研究课题.

3.研究轨迹形状，经历合情推理.尺规作图是学生常用的作图方式，但根据“到两个定点的距离之和是定值”这个条件，似乎很难找到问题的答案.此时，教师应让学生回顾以前学习圆的轨迹的作图方式，即为了达到“到两个定点的距离之和是定值”这一条件，可以把绳子的两端固定在两个定点的位置上，并鼓励学生实地探究，通过小组的形式画出椭圆图形.

5.特例巩固练习，再探椭圆性质.为了进一步研究椭圆的性质，加深对椭圆概念的理解，笔者设置了以下问题组织学生探讨：

已知椭圆上点A到两焦点间的距离是10，焦距为8，求该椭圆的方程式.

面对这一问题，笔者引导学生建立直角坐标系，探索如何将具体问题数学化，并且在直角坐标系中表示出具体的数值：

由焦距为8得出焦点F1、F2的坐标为(-4,0)、(4,0)；

由点A(x,y)到两焦点间的距离是10得到|MF1|+|MF2|=10;

二、类比教学法

类比教学法是在学生已学数学知识和结论的前提下，通过形象直观的经验和直觉，推测出某种推理的一种教学方式，从而达到得出数学概念.但是通过这种推理而得出的结论不一定正确，需要教师进一步的验证和推理.椭圆概念类比教学法教学过程如下：

1.理论铺垫，理解曲线方程.建立平面直角坐标系，结合该图形代表的方程研究椭圆几何图形性质.例如，在前面课程学习中，学生已经掌握了“以方程的解为坐标的点都在曲线上，曲线上点的坐标都是方程的解”这两个知识点，笔者以该知识为出发点，从而引入本节课程知识.

2.辨析确认，理解椭圆概念.在学生课前复习的基础上，有意识地呈现学生关注不够细致的问题，启发学生寻找到问题产生的本质.例如，当学生初步掌握椭圆就是平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹时，笔者以常数为问题，进一步探讨常数的条件，即当这个常数等于两个定点的距离时，轨迹是以这两个点为端点的线段；当这个常数小于两个定点的距离时，无法构成图形，轨迹不存在；只有当这个常数大于这两个定点的距离时，才能够成椭圆.通过这样有意识地反思，帮助学生准确地理解椭圆的概念.

3.操作类比，感受思想方法.充分利用所学圆等方面的知识，通过知识迁移深入理解椭圆的性质.然后充分发挥学生的主观能动性，组织学生以小组的形式探讨圆和椭圆的相同点和不同点，通过圆与椭圆在概念、思想方法、标准方程式等方面的异同加深椭圆性质的理解.

三、预习教学法

课前预习是学生掌握好课堂内容的必要条件，只有在课前预习的前提下，才能将抽象的数学核心概念理解深刻.椭圆概念预习教学法的教学过程如下：

1.做好课前定位，列出预习提纲.笔者在深入分析教材和学情的基础上，设计出了以下预习提纲：

(1)什么是圆锥曲线？为什么要研究圆锥曲线？

(2)从集合角度，阐述{(x，y)|x2+y2=1}和{(x，y)|x2+y2≤1}所表示的意义.

(3)总结出求曲线方程的步骤，深刻体会平面直角坐标系在研究几何形状中的重要作用.

⑷椭圆的标准方程如何表示，尝试对教材中的例题做出变式并解答.

2.把握课堂起点，检测预习效果.对课前预习情况进行检查，对于未预习学生，在得知具体原因的基础上让学生理解课前预习的重要性；对于预习学生，通过“为什么要学习这节课、“你认为这节课主要讲了什么”、“不懂的地方有哪些”等问题准确定位课堂内容.

4.落实新课目标，做好总结反思.及时总结课堂知识，促进学生不断完善自己的知识结构.同时，做好课后作业布置，进一步加强学习效果.

四、欣赏教学法

数学概念源于生活，但却是个别数学家应用理性思维抽象而得到的，要想在课堂上展示发展历程是相当困难的，即使教学再现情境，学生也会感到牵强附会.因此，教师对于学生“你是怎么想到椭圆就是通过笔尖在固定的绳子上移动得到的”、“怎么从鸭蛋中抽象出椭圆的概念呢”等类似问题应通过欣赏的角度组织学生进行学习.

1.欣赏实例，了解概念.通过一些学生非常熟悉的事物深刻理解椭圆图形，如水杯倾斜时水面的形状、球在斜射阳光下的影子的边界.

2.历史观点，揭示概念.阅读教材中给出的椭圆概念，展示1822年旦德林发现椭圆的焦半径性质，并应用旦德林球模型深刻揭示“到定点的距离等于定长”这一性质.

3、概念得出，制作模型.通过笔尖在固定的绳子上移动操作画出椭圆模型，理解绳子的长度、笔尖到两个定点的距离之和所代表的几何意义，并推导椭圆的标准方程.

综上所述，传统高中数学核心概念学习较为呆板，只是将其作为一个既定的理论进行讲解，学生学习效果较差，而探究学习法、类比教学法、预习教学法、欣赏教学法更加注重核心概念的演绎和推理，注重教学过程中的创新和学生能力的培养，有利于高中学习数学核心概念的学习.

[1]郝俊鹏.对高中数学概念教学的几点思考[J].学周刊,2017(14).

[2]章建跃.“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计研究与实践”中期研究报告[J].中学数学教学参考,2008(13).

[3]周宏燕.数学核心概念教学实践感悟[J].教育科学论坛,2013(08).

[责任编辑：杨惠民]

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1008-0333(2017)24-0009-02

2017-06-01

沈瑜(1987.04-)，女(汉族)，江苏省苏州人，本科，中学二级教师.