浅谈高中三角函数学习的主要困难和原因分析

周奕彤

三角函数是基本初等函数之一，在高中数学中占有重要地位。本文将结合笔者自身的学习经验，对高中三角函数学习的难点和原因进行分析，主要采取结合例题说明的方法，探讨三角函数中的难点问题和易错问题，从而在学习过程中突出重点，提高对三角函数难点问题的处理能力。

一、前言

三角函数是高中数学教学中的重点内容，与之相关的知识点比较多，并且所涉及到的公式也比较多。基于这样的背景，要求我们在解题过程中，需要灵活运用相关概念和基本公式，构建数学模型，将问题转化为我们能够求解的形式，最终解出正确答案。但是在实际学习过程中，部分高中生由于对知识点掌握的不够扎实，再加上缺乏练习，在三角函数习题方面存在着很多疑惑。针对这种情况，笔者觉得有必要对三角函数的学习难点及其原因进行深入分析，从而找到改善三角函数学习状况的有效途径。

二、高中三角函数的学习难点

（一）三角函数转换问题

F（x）=Asin（ωx+φ）+b形式的表达式是一种比较复杂的三角函数题目，一般考察的是我们对三角函数基本性质的掌握程度。此外，解答相关题目需要对三角函数表达式进行化简，通过整理找出相关性质，进而解出答案。在此过程中，通常要利用降幂扩角公式对三角函数表达式进行简化，通过恒等变换，将其化解为f（x）=Asin（ωx+φ）+b的形式。

例题1 已知函数f（x）=4cosxsin（x+π/6）-1，求：①f（x）的最小正周期；②f（x）在[-π/6，π/4]上的最小值。

在求解此類题目时，首先要进行三角函数变换，题目中的f（x）=4cosxsin（x+π/6）-1可以通过恒等变换得到f（x）=2sin（2x+π/6），转换后可以较为容易的得出f（x）的最小正周期为π。求解f（x）在[-π/6，π/4]上的最小值，当2x+π/6=π/2时取得最小值，即x=-π/6，f（x）min=-1。

（二）三角函数与二次函数的复合问题

三角函数和二次函数相关知识的融合在高中三角函数学习中也非常常见，尽管知识内容存在一定的互通性，但学习时却是分步进行的，因此差异显著。具体而言，二者的融合往往是将三角函数作为内涵数，而将二次函数作为外函数复合，或者将二次函数作为内涵数，将三角函数作为外函数再复合，以换元的方法构造复合函数，该方法涉及到“降幂扩角”，部分高中生对相关知识的掌握不够牢固，必然带来学习上的问题。比如题目：f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx的最小值和最大值。解析该题目，首先要对已知条件进行简化，使其变为一个三角函数，再进行还原，以复合函数的解析方式完成解题。

（三）三角形相关问题

三角形相关问题是三角函数中最常见、最基本的问题，但由于三角形问题可能存在多个三角的复合或者三角形与圆形、梯形的复合，其复杂程度也会随之提升，而不同三角形的性质也有差异。高中生在学习时，思路不够开阔、知识掌握不牢，都会产生学习困难，如基本的三角形内切圆，三角形某一条边上的高随着切点的变化移动也会不断改变，求其最大值、最小值和变化规律等问题。以上几方面习题涉及到函数、集合、最值等知识，要求高中生牢固掌握基本概念和运算方式，一定程度上讲，这也给知识点的学习、掌握带来了影响。

三、高中三角函数难点问题及错解的原因分析

（一）基础知识点掌握不牢靠

基础知识点掌握不牢靠是高中生进行三角函数学习、解题时出现困难和错误的主要原因之一。三角函数的解题带有非常明显的规律性，即一切图形的变化均遵循基本的函数规律，计算方式也是相同的，也即通常所说的“万变不离其宗”，比如基本的和差角公式，基础公式为：cos（a+b）=cosacosb-sinasinb；cos（a-b）=cosacosb+sinasinb，两个公式中，a为角A的对边，b为角B的对边，C则是斜边，无论三角形怎么变化，所选角度有何种不同，计算都可以根据该公式进行。如果对相关知识掌握不牢，解题、学习时也就难以寻找到切入点和方式，自然就会产生困难、出现错误。

（二）题目涉及知识点多

高中三角函数知识点相对固定，但在题目中，各类知识却是融合在一起的，教科书中的例题、基本的习题往往不具备这些特点，这意味着高中生如果不能有效掌握前后所学知识，学习、解题时也会出现困难。如前文所说的三角函数和二次函数的融合问题，题目为：f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx的最小值和最大值。该题目需通过“降幂扩角”解答，又涉及到复合函数、取值的区间，如果对题目稍加改动，还可能涉及到函数单调性，众多知识点中，任意一个掌握不牢固题目就可能无法解答。这也是高中生能够完成单一知识题目解析、无法进行多个知识点融合类题目解答的问题所在。

（三）变量关系难以确定

三角函数和其他函数相同，都会涉及到各类变量，如前文提到的三角形内切圆，三角形某一条边的高取值会随着切点的变化而变化，该题目中涉及到的两个基础变量为三角形某一条边的高和切点，高的取值大小随着切点的变化而变化，这是两个变量的基本关系。在解题时，如果没有把握这一要点，将高的取值与不相关的变量联系到一起，所获得的计算结果很大可能就是错误的。我们在进行学习、解题时，应注意对变量关系的把控。

（四）缺少整体性思维

对常见的高中三角函数题目进行分析，会发现一个基本规律，即各类题目往往融合了多个知识，这要求高中生在学习和解题过程中要具备基本的整体性思维，先分析题目涉及到的知识内容，再针对各项知识分别进行思考，寻找切入点。如某一题目涉及到高中知识的同时，还涉及到初中勾股定理等内容，就要求高中生站在整体的角度上先对题目进行拆分，之后具体进行解题。

四、结束语

综上所述，三角函数学习是高中数学学习的重要组成部分，对其中的难点知识和易错题目进行分析，可以帮助我们提高警惕，加深认识，牢固掌握相关的知识点，并在解题过程中采用恰当的方法，提高解题准确率。此外，我们应逐渐形成转化思维和整体性思维，善于找到三角函数类型题的突破口，采用简洁的方法得出正确答案。endprint