数学归纳法在高中数学解题中的妙用

黄天舒

摘要：本文以数学归纳法的整体架构为突破口，对数学归纳法的基本原理和计算方式、理论和使用做出了探究，并阐述了数学归纳法在对几何、数列、不等式以及数的整除证明方向的具体使用方式，旨在以使用数学归纳法解决问题来对高中生运算技巧、观察能力、逻辑思考能力和处理综合应用问题的能力加以锻炼，使之能通过数学归纳法更高效的解题。

关键词：数学归纳法；高中数学；解题技巧

数学归纳法一种针对证明某个自然数n相关的数学课题的解决手段，是在进行一定次数的检验、假定和讨论来替代无穷次数的实例检验，进而达成充分证明命题成立的目标，换而言之，就是从一些特定状况下总结成立规律，使用递推的手段，从理论上对这种规律的无限推广至一般情况，恰当的使用数学归纳法处理问题是高中数学教学范畴内应该掌握的方法[1]。

一、数学归纳法的一般原理

数学归纳法是从peano的自然数公理中衍生出来的，自然数存在下面几条性质：

1、1为一个自然数。

2、所有确定为自然数的数值a，都肯定存在的后继数a￠，并且a￠也应为自然数。

2、所有自然数的后继数都不可能是1，也就是说11a￠。

4、一个自然数是只可能是某个特定数的后继数，后者确实并非后继数，也就是若aii=b时确定a=b成立。

5、如果某个自然数的集合含有1，而且含有a，也肯定含有a的后继数a￠，如此这一集合含有全部自然数。

第五條即为数学归纳法的来源和成立判据。

形式：假定p（n）是有关自然数n的命题，如果确定有①p（1）；②"n∈N，如果p（n）存在→p（n+1）存在，那么p（n）对"n∈N都确定存在。

变式：假定p（n）为n这个自然数的命题，如果确定有①p（n0）（n0IN）；②”n∈N，n>n0，如果p（n）存在→p（n+1）存在。则存在p（n）对”n∈N，n>n0均确定存在。

按照数学归纳法原理的表述，在对自然数命题相关的证明时可对应的依照下面的步骤做处理：

1、证明p（1）能够成立（奠基步骤）；

2、假定p（n）成立，得出p（n+1）也可以成立（归纳步骤）；

由1、2能够得出p（1）对于"n∈N成立。

实际上它的核心思路是：从有限度的检验和一次性的逻辑推理当中，代替推广到无数次的检验程序，证明其在所有证明范围内都成立。endprint