借助多种直观模型突破分数认识困难

袁奋明

摘 要：认识分数是学习分数的起始课，学生从自然数的认识到分数的认识，是对数的认识的一次拓展和飞跃。有的小学生表面上很容易就认识了分数，但他们真正的理解分数吗？学生在理解分数过程的障碍是什么？通过对分数认识这个课题的研究，我终于找到了帮助小学生理解分数意义的途径—借助多种直观模型，帮助学生体验分数含义的多重性，体验分数含义的复杂性，逐步提升儿童在抽象的水平上理解分数。

关键词：直观模型；体验；分数认识

一、要厘清分数是“行为的分数”还是“定义的分数”

一对对的数字，例如1/2，2/5等，或者短语。“二分之一，五分之二”等并不是“分数”它只是代表分数概念的符号或者语言。一般来说，学习分数不能直接从这些符号入手，而是从分数的“产生”入手。即理解分数首先从“行为”（平均分物体）入手，而不是从“定义”（形如b/a，a≠0）入手。只有学生经历并体验了把一个“整体”平均分为各个部分，所“关注”的部分与整体之间的关系可以用一个新的数来表示之后，才可以给出分数的“符号”表示，并建立“行为”与“符号”之间的一一对应关系。只有经历这样的过程，学生才能逐步理解分数的概念。即学生理解分数是从“行为”开始的，这是从“率”的角度来理解分数。

二、借助于多种直观模型理解分数的含义

在小学阶段主要学习“行为的分数”，教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动模型，建立分数的概念。例如把一个月饼平均分成两份，其中的一份儿是1/2个；把一张纸平均分为四份，其中的一份是1/4。这仅仅是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。

1.分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数

学生最早接触分数概念及其术语可能与“空间”有关，而且更多的是“3—维”的，而不是“2—维”的，例如，半杯牛奶，半个苹果……

学生最早是通过“部分—整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”，取其中的一份儿或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。

对于“平均分”，儿童有丰富的经验。为他们认识分数的面积模型，或者从“部分—整体”的角度认识分数打下了坚实的基础。但是对于分数的“面积模型”，在学习过程中学生经常遇到一些困难。如：

（1）能否认识到图形“面积相等”的必要性，即“整体1”是否一样大。

（2）是否习惯于由图形语言到符号语言表达的转换，初步学习分数时对分数的特有表示方法不能立即掌握，需要有熟悉、习惯的过程。

（3）理解大于“整体1”的分数。

（4）从表示多余一个“单位”的图形中确定谁作为“单位”。

例如，对于有两个同样大小的正方形都被平均分成四份，其中四份都涂了颜色，另一幅其中涂了两份，对于这样的图形，学生的回答是6/8，而不是6/4。这时用“面积模型”认识分数就带来了困难。分数被理解为表示“单位面积”（关键是哪部分是“单位面积”）的子面积，被理解为“整数的部分”，这就为儿童理解假分数带来了困难。

2.分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数

这也是“部分—整体”的一种形式。与分数的面积模型联系密切，甚至几乎没有区别。但学生在理解上难度更大，关键是“单位1”不再真正是“1个整体”了，而是把几个物体看作“1个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”。例如，在一个集合圈内，有涂色长条3个，白色图形2个，那么图中，“涂色长条”占全部“长条”的3/5。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。

分数的集合模型的优点是有利于用比较抽象的数值形式表示“比”与“百分比”。例如又一幅圖：有5个同样的长方形条，其中3个是涂色，2个是白色的，这是一个离散的量，这时我们把分数看作是“算子”，即把分数看作是一个“映射”。例如“涂色长条”与“白色长条”之比为3∶2，或者写为3/2。

3.分数的“数线模型”：数线上的点表示分数

分数的“数线模型”就是用“数线”上的点表示分数。它把分数化归为抽象的数，而不是具体的事物。对这个模型的理解需要学生更高的抽象水平的抽象能力，甚至有的初中生对用“分数”表示点仍然感到困难。分数的“数线模型”与分数的“面积模型”有着密切的联系：一个分数可以表示“单位面积”的“一部分”，也可表示“单位长度”的“一部分”。前者是2维的，后者是线性的，是1维的。

“数线模型”是“数轴”的前身，是数轴的“局部放大”和“特殊化”，是用“点”来刻画“分数”。

三、结论

根据上述分析可以看出，我们对分数的理解可以从多个角度，借助多个直观模型，其抽象水平越来越高，因此在分数的教学设计时要注意：

1.提供多样的模型

提供多种不同的“实物模型”，在“分割”中使儿童逐步体验分数的解释的多样性与表示法的多样性。

2.把握抽象水平

精心设计，精心控制，逐步提升学生在抽象的水平上理解分数。分数的每一种解释都与某一种特殊的认知有关，如果忽略了其中某一必要的认知结构，可能导致学生缺乏关于分数某些方面的理解。有的学生可能对于日常生活中分数的某些应用有很好的理解，但换一种情境就感到困难。例如，一方面他们能把3米长的木条等分成5段，并取其中的三段，每段为60厘米。但他们却不理解：3÷5=0.6。

3.学生对分数的抽象理解过早或过晚都不利于学生的发展

学生对分数的不同理解存在显著的个体差异，有些学生很早就能在抽象水平上理解分数，而另一些则需要等待很长的时间。

为此，一开始就要利用不同的实物模型，从平均分中帮助学生体验分数含义的多重性，体验分数含义的复杂性。

参考文献：

[1]郑毓信.分数的教学与数学思维[J].小学教学（数学版），2010，05：4-6.

[2]章敏.关于分数教学的思考[J].学科教材与教学，2015，3（35）.

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