勤思善结 跳出题海

陈星

圆锥曲线作为高考的热点内容之一，向来都以“压轴题”的形式出现，因其综合性强，往往令人生畏不战而败。任何题目都有各自解题思路，我在学习过程中的经验是，勤思考，多总结，不必遨游题海。下面我以一道高考题为例谈一下我的解题感悟。

例（2014，山东）已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D且有.当点A的横坐标为3时，ΔADF为正三角形.

（1）求C的方程.

（2）若直线l1//l且l1和C有且只有一个公共点E，

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标.

②ΔABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由

解 （1）由题意知F（，0）.

设D（t，0）（t>0），则FD的中点为（，0）.

因为

由抛物线定义知3+p=，.

解得t=3+p或t=-3（舍去）.

由=3，解得p=2.

所以抛物线C的方程为y2=4x.

（2）①由（1）知F（1，0）.

設A（x0， y0） （x0 y0≠0），D（xD，0）（xD>0）.

因为|FA|=|FD|，则|xD-1|=x0+1，

由xD>0得xD=x0+2，故D（x0+2，0），

故直线AB的斜率kAB=-，

因为直线l1和直线AB平行，

设直线l1的方程y=-x+b，

代入抛物线方程得y2+y-=0，

由题意得Δ=+=0，得b=.

设E（xE， yE），则yE=-，xE=.

当y02≠4时，kAE===，

可得直线AE的方程为y-y0=（x-x0）.

由y02=4x0，

整理得y=（x-1），

直线AE恒过定点F（1，0），

当y02=4时，直线AE的方程为x=1，过点F（1，0）

所以直线AE恒过定点F（1，0）.

2由1知直线AE过焦点F（1，0），

所以|AE|=|AF|+|FE|=（x0+1）+（+1）=x0++2.

设直线AE的方程为x=my+1.

因为点A（x0，y0）在直线AE上，故m=.

设B（x1，y1），直线AB的方程为y-y0=（x-x0），

由于y0≠0可得x=-y+2+x0，

带入抛物线方程得，y2+y-8-4x0=0，

所以y0+y1=-，

可求得y1=-y0-，x1=+x0+4.

所以点B到直线AE的距离为

d===4（+）.

则ΔABE的面积s=*4（+）（x0++2）≥16，

当且仅当=x0，即x0=1时等号成立.

所以则ΔABE的面积最小值为16.

解题小结：（1）求抛物线的标准方程，此例应用抛物线的定义直接求解；（2）①探索定点问题：本题由直线l1// l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出含参数的直线AE的方程，分离参数得出直线过定点，最后验证特殊值时也成立。这类问题也可从特殊入手，先求出定点，再证明这个点与变量无关。同样这两种思路也适用于探索定值问题②探索最值问题，此例先用点A坐标表示出ΔABE的面积，再用用基本不等式求最小值。也就是用的代数方法，把要求的最值或范围的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等求解。此类题还可利用几何方法，由定义、几何性质以及平面几何中定理、性质等进行求解。

总之，做圆锥曲线题时我们见点设点，见线设线，再与圆锥曲线方程联立，消参求解。只要我们勤思善结，就能做到举一反三，事半功倍！endprint