对一道函数最值问题的思考

樊鑫培

摘要：数学教学离不开题，题中有日月，题中有乾坤，我们教师只有把题玩好，才能让学生感受到数学学科的魅力。本文以一道函数题出发，得到它的最值的几种精彩方法，打开思路，感受数学魅力！

关键词： 柯西不等式；数形结合；对偶式

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2017）12-0135-02

Abstract： mathematics teaching cannot leave the topic， the topic of the sun， the topic of the tide， we have only to play good， teachers can make students feel the charm of mathematics Problem in this paper， a function， get it several kinds of methods， the value of the open thought， understand mathematical charm

Key words： cauchy inequality； Number combination； Dual type

（2014年全國高中数学联赛广西赛区预赛）函数 的最大值是

解法一：（导数法）

记 ，

所以令 ，得 ，

而 ，所以 。

解法二：（柯西不等式）

因为 ，由柯西不等式得，

，

当且仅当 即 时，等号成立，所以 。

解法三：（柯西不等式的向量形式）

因为 ，所以构造平面向量

则

因为 ，当且仅当 同向时取等号，

所以 ，所以 。

解法四：（数形结合）

因为 ，设

所以 ，即转化为目标直线 与圆 在第一象限的图形相切时取得最大值，由 得 即为所求最大值。

解法五：（三角换元）

因为 ，所以 则

记 ，所以 ，

所以

其中 当 时，

解法六：（构造对偶式）

因为

因为 在 上单调递减，则 则

又因为

所以 ，因为 ，故 ，所以 。

解法七：（构造方差）

因为

令 ，则 ，所以9个 与2个 的平均数为 ，

方差为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，

解法八：（构造概率分布列）

因为

令 ，则 ，构造随机变量 的概率分布列为

所以

，

因为 所以 ，

所以 ，当且仅当 ，即 时，

参考文献：

[1]蔡小雄《一题多解与一题多变》 （浙江大学出版社）