最近邻与长程移动模式下的Lanchester作战动力学研究

崔怡望，田宝国，王 栋

（海军航空工程学院a.研究生管理大队；b.基础部，山东烟台264001）

最近邻与长程移动模式下的Lanchester作战动力学研究

崔怡望a，田宝国b，王 栋a

（海军航空工程学院a.研究生管理大队；b.基础部，山东烟台264001）

在现代战争中，诸如空降兵作战、特种兵作战等部队的远距离转移和投送被频繁使用，这些作战问题明显不同于以往运用空间Lanchester方程所研究的最近邻移动作战问题。为了解释上述现代作战问题，文章引入新的长程移动模式——列维飞行，运用随机模拟方法对作战双方在最近邻移动、长程移动模式下的Lanchester作战时空动力学进行了研究，得到了这2种移动模式下稳定共存与非稳定共存的参量条件与临界曲线，并研究了不同参量情况下的斑图演化与密度时间序列曲线的变化情况。研究表明，这2种移动模式的动力学影响是不同的，列维飞行能明显提高搜索效率，使整体作战效率提高，战斗过程缩短。

Lanchester方程；最近邻移动；列维飞行

Lanchester方程在1914年被提出[1]，最初是用来描述空战，国内外学者以该模型为基础进行了大量的研究[2-4]，研究者普遍认为线性律和平方律只适用于古老的和过时的战争，而不能用来解释说明现代战争，原因在于现代战争的进程和结果很大程度上依赖于地形地貌、通信、武器、士兵能力以及战术策略等综合因素，后来有些学者进一步在原有常微分方程的基础上引入了空间因素。Lauren等使用元胞自动机模型研究了Lanchester作战的时空动力学[5-13]，建立了有分形特征的作战方程，用来解释特定环境下作战兵力采用分散式、游击战式或群集式策略的有效性。Ilachinski做了早期的智能体作战模型研究[14-16]。21世纪以来，随着机器人、无人机以及传感器、网络通讯等技术的迅速发展与推广使用，智能体模型在社会、经济、军事等领域的研究呈现爆发式的发展[17-22]，并具有巨大的应用价值与发展前景。Protopopescu等人为解决部队通过某区域或战斗空间的运动模拟问题[23-24]，将Lanchester方程由常微分方程形式扩展到了偏微分方程形式，研究了部队行进过程中的扩散效应，以及作战双方之间不同的相互作用等造成的影响；后来，Spradlin、Keane、Gonzalez等人使用偏微分方程分别研究了作战双方在整个战斗区域里的运动或者扩散效应以及更为复杂的时空演化动力学[25-32]，这方面的理论研究潜力巨大，已成为Lanchester作战模型研究的新发展方向。

已有研究中的Lanchester作战模型都属于最近邻移动作战，没考虑实际作战过程中部队的长程移动问题，在现代战争中，诸如空降兵作战、特种兵作战等，部队的远距离转移和投送被频繁使用，这些作战问题明显不同于以往运用空间Lanchester方程所研究的最近邻移动作战问题。为了能更好地解释上述现代作战问题，本文借鉴生物学与社会学中群体移动的统计研究结论：在自然演化过程中，生物获得了最优的搜索模式——列维飞行[33-44]，将列维飞行等移动模式引入，并作为部队的长程移动模式，进一步研究最近邻移动、长程移动模式下的Lanchester作战时空动力学。

1 最近邻移动模式

1.1 模型

首先，建立所研究的模型，使用规模为100×100的平面网格，采用周期边界条件。二维平面网格上的每一个位置由红方个体A或蓝方个体B占有，规定每一个位置最多有一个个体，如果某个位置上没有红、蓝方个体，则用空位置ϕ表示。红、蓝双方个体A、B以及空位置ϕ之间的相互作用关系如下：

式（1）、（2）中：μ为消灭增援率，假设红、蓝方的消灭增援率相同，消灭增援率体现双方个体的战斗力与增援能力；e为交换率，表示双方个体的宏观流动性。

采用随机模拟方法，进行Monte Carlo模拟，具体步骤为：首先，随机选择某一位置的个体；然后，从其上下、左右最近邻4个位置处的个体中随机选择一个位置上的个体，与之发生式（1）、（2）所表示的相互作用。个体之间发生的相互作用行为如图1a）～e）所示。

二维格子代表作战双方A（红色）、B（蓝色）的个体以及空格（灰色）。红、蓝方个体相遇以一定的概率发生消灭增援行为，空位置与红、蓝方个体之间以一定的概率发生交换行为。

如图1a）表示红方个体以μ的反应率消灭其最近邻的蓝方个体，接着在原来蓝方个体的格子上增援1个红方个体；图1b）表示蓝方个体以μ的反应率消灭其最近邻的红方个体，接着在原来红方个体的格子上增援1个蓝方个体；图1c）表示红方个体以e的反应率与其最近邻的空格交换位置，图1d）表示蓝方个体以e的反应率与其最近邻的空格交换位置；图1e）表示红、蓝双方个体的消灭繁殖和交换位置2种过程在3×3的格子上的示意图。规定当作战双方个体相遇发生战斗时，消灭彼此的概率是相等的。消灭增援和交换2种行为的发生概率由经典的Gillespie算法决定[45]，可得消灭增援发生的概率为，交换位置发生的概率为，接着按照上述算法循环进行下去，每次均取大于或等于10000代的模拟结果。

1.2 随机模拟

1.2.1 消灭增援率——交换率临界曲线

在随机模拟过程中，初始分布为均匀随机分布，红方A、蓝方B与空位置ϕ的初始分布比例大致为3∶3∶4。消灭增援率μ和交换率e为可调参量。调整消灭增援率和交换率等参量，观察红、蓝方的动态战斗与扩散过程。在随机模拟过程中，当模拟代数等于10000代时，红、蓝方均存在，定义为稳定共存状态；红、蓝方中的任意一方被对方全部消灭时，战斗结束，定义为非稳定共存状态。

调整消灭增援率μ、交换率e的取值，分别进行随机模拟，通过模拟得到稳定共存与非稳定共存的临界曲线，如图2所示，2条临界曲线之间（包括2条临界曲线）为红、蓝方非稳定共存的参量区域，其他参量区域对应于红、蓝方稳定共存状态。

在图2中，选取双方非稳定共存区域的参量μ=1，e=0.6和稳定共存区域的参量μ=10，e=10，得到对应的双方密度时间序列曲线如图3、4所示。

图3中的双方密度时间序列曲线表示：一方数量增加，另一方数量减少到0，即被完全消灭，大量的模拟发现，双方被消灭的机会均等。图4中，红方、蓝方的数量尽管具有随机性变化特点，交替性增减，呈现此消彼长的相抗衡关系，即双方形成稳定共存状态。

1.2.2 稳定斑图及其变化规律

在图2中，对应红、蓝方稳定共存的参量区域，选取消灭增援率并保持不变，再增大交换率，观察斑图的演化，研究交换率对稳定斑图的影响，见图5～8。

观察图5～8中的斑图，可发现，在消灭增援率不变的情况下，交换率越大，经过相同时间的斑图变化越大，而且斑图中斑块越小，越分散，说明红、蓝双方的自组织性越差，越不容易形成大的斑块；交换率越小，红、蓝双方的自组织性越强，能较容易形成大的斑块。再选取不同的消灭增援率，进行与以上相同的研究步骤，观察斑图的演化特点，所得结论同上。

图9、10是对应以上2组参量情况下双方密度的时间序列曲线。

在图9、10中可以明显观察到，在最近邻移动模式下，红方、蓝方的数量交替性增减，幅度变化也较大，且呈现此消彼长的相抗衡关系，双方也形成稳定共存状态。

在图2中的稳定共存参量区域内，选取交换率并保持不变，再增大消灭增援率，观察斑图的演化特点，以研究消灭增援率对稳定斑图的影响，结果如图11、12所示。

观察图11、12中的斑图，可发现，当交换率固定不变时，随着消灭增援率的增大，斑块规模变大，这说明红、蓝双方的自组织性变强；而当消灭增援率变小时，斑图中零碎小斑块越多，大斑块越少，即红、蓝双方的自组织性越弱。与以上参量对应的双方密度时间序列曲线如图13～16所示，同样可发现，红方、蓝方的数量也是交替性增减，呈现此消彼长的相抗衡关系，双方也形成稳定共存状态。

2 长程移动模式

2.1 模型

在生物学与社会学的实证研究中，已发现个体的移动遵循列维飞行等模式[33-44]，例如鹿、蜘蛛猿、海洋捕食类鱼、细菌以及人类等，它们的觅食与搜索活动符合列维飞行等模式。

列维飞行描述的运动模式是指运动距离的概率密度分布函数为幂律函数，即：

式（3）中：li为第i次移动的距离；P(li)为飞行距离为li的概率；h为幂指数，当-3.0≤h＜-1.0时为列维飞行，当h＜-3.0时为布朗运动。

研究发现：列维飞行是在自然演化过程中生物获得的最有效觅食和搜索模式[33-44]。受此启发，本文将列维飞行等长程移动模式引入，将其作为部队的长程移动模式，再深入研究最近邻移动、长程移动模式下的Lanchester作战时空动力学。

采用与前面相同的规模为100×100的二维平面网格，红、蓝方个体A、B以及空位置ϕ之间的相互作用关系与式（1）、（2）所表示的相同，在随机模拟过程中，初始分布同样为均匀随机分布，红、蓝方个体A、B与空位置ϕ的初始分布比例与最近邻移动模式相同。唯一不同的是，在长程移动模式下，随机选择的个体按照幂律分布P(li)∝以及Monte Carlo算法所得出的飞行距离（本文均采用Manhatton距离）和方向找到下一个个体，发生式（1）、（2）所表示的相互作用行为。

2.2 随机模拟

在实际生物、社会系统和军队中，个体受到自身活动能力以及活动区域等的限制，平均而言，个体移动的距离存在一个限制值[45-46]，定义它为最大飞行距离，用lmax表示。对于个体具有实际意义的是最大飞行距离lmax和幂指数h。在随机模拟过程中设定列维飞行的最大飞行距离为lmax=M/2，列维飞行幂指数为h=-2。在随机模拟过程中，当模拟代数等于10000代时，红、蓝方均存在，定义为稳定共存状态；红、蓝方中的任意一方被对方全部消灭时，战斗结束，定义为非稳定共存状态。

2.2.1 消灭增援率-交换率临界曲线

调整消灭增援率μ、交换率e分别进行随机模拟，通过模拟得到长程移动模式下稳定共存与非稳定共存的临界曲线，如图17所示，2条临界曲线之间（包括2条临界曲线）为红、蓝方非稳定共存的参量区域，其他参量区域对应于红、蓝方稳定共存状态。

在图17中，选取双方非稳定共存区域的参量μ=5，e=3和稳定共存区域的参量μ=10，e=10，得到双方密度时间序列曲线如图18、19所示。

图18表示红方数量增加，蓝方数量减少到0，即蓝方被红方完全消灭。模拟发现，红方或蓝方被消灭的机会均等。图19中，红方、蓝方双方的数量也随机变化、交替性增减，呈此消彼长的抗衡关系，即双方形成稳定共存状态；与相同参量下最近邻移动模式的结果（图4）相比，长程移动模式下双方数量变化幅度更大。

2.2.2 稳定斑图及其变化规律

在图17中，对应红、蓝方稳定共存的参量区域，选取消灭增援率并保持不变，再增大交换率，观察斑图的演化，研究交换率对稳定斑图的影响，见图20～23。

由斑图观察可发现，列维飞行长程移动模式的影响较明显，如图中，在一些较大的斑块中，总是不规则分布着较小的敌方斑块，小斑块能逐渐侵蚀消灭大斑块，很显然这是长距离列维飞行所导致的结果；当消灭增援率固定不变的情况下，交换率越大，斑图中小斑块越多，且小斑块的分布较为分散，说明交换率抵消红、蓝双方的自组织性，交换率越大，红、蓝双方的自组织性越差，越不容易形成大的斑块；交换率越小，红、蓝双方的自组织性越强，越容易形成大的斑块，这在图24中较为明显。

与以上参量对应的双方密度的时间序列曲线如图25～28所示，结果均表示，红方、蓝方的数量都具有随机性变化特点，且交替性增减，呈现此消彼长的相抗衡关系，双方始终能稳定共存。

在图17中，对应于红、蓝方稳定共存的参量区域，选取交换率并保持不变，再增大消灭增援率，观察斑图的演化，研究消灭增援率对稳定斑图的影响，如图29、30所示。

观察斑图可发现，列维飞行长程移动模式的影响也较为明显，如图29、30所示，长距离列维飞行所导致，在一些较大的斑块中总有不规则分布着的较小敌方斑块，小斑块能逐渐侵蚀消灭大斑块；在交换率不变的情况下，随着消灭增援率的增大，零碎小斑块减少，大斑块规模越来越大，说明红、蓝双方的自组织性越来越强，即己方所占区域中敌方个体越来越少。图31、32表明变化特点与以上长程移动模式下结果均相同，红、蓝双方也处于相抗衡的稳定共存状态。

3 最近邻移动模式与长程移动模式的比较

3.1 临界曲线比较

比较最近邻移动模式和长程移动模式下的消灭增援率——交换率临界曲线，如图33所示。

由图33可发现，最近邻移动模式和长程移动模式的消灭增援率-交换率临界曲线有所不同，随着消灭增援率的增大，长程移动模式与最近邻移动模式相比，非稳定共存参量区域呈向下平移趋势，这说明列维飞行导致总流动性增强，交换率须减小以保持总流动性不变，才能使演化结果保持不变。

3.2 稳定共存时间比较

为进一步分析相同情况下，红、蓝方个体的移动模式对双方稳定共存时间以及稳定斑图的影响，选取最近邻移动模式和长程移动模式下红、蓝双方稳定共存区域的参量，分别选取μ=2、e=5，μ=2、e=2，μ=1、e=1各作随机模拟100次，对稳定共存代数取平均值，得到红、蓝双方最近邻移动模式下平均稳定共存代数分别为48121代、39221代、34947代，长程移动模式下平均稳定共存代数为44716代、34933代、33755代。对于消灭增援率、交换率取其他值的情况也做了随机模拟研究，可发现2种移动模式对双方战斗的结果有不同的影响。比较而言，相同参量情况下采用长程移动模式时红、蓝双方稳定共存时间更短。这说明列维飞行模式的搜索效率比较高，使整体作战效率提高，导致红、蓝双方稳定共存时间变小，战斗过程缩短。

4 结论

本文分别对最近邻移动和列维飞行移动模式下Lanchester作战模型进行了研究，得到了这2种移动模式下稳定共存与非稳定共存的参量条件与临界曲线，并研究了不同参量情况下的斑图演化与双方密度时间序列曲线的变化情况。研究发现：对于这2种移动模式，随着消灭增援率的增大，斑块规模都会变大，这说明红、蓝双方的自组织性增强；而当消灭增援率变小时，斑图中零碎小斑块越多，大斑块越少，即红、蓝双方的自组织性减弱；当消灭增援率固定不变时，交换率越大，斑图中小斑块越多，且小斑块的分布较为分散，红、蓝双方的自组织性越差，越不容易形成大的斑块。交换率越小，红、蓝双方的自组织性越强，越容易形成大的斑块。经过深入研究可知，这2种移动模式下的稳定共存与非稳定共存参量区域有所不同，原因是这2种移动模式的动力学影响不同，长距离列维飞行效应显著，并且列维飞行导致总流动性增强。比较而言，相同参量情况下采用列维飞行移动模式时红、蓝双方稳定共存时间更短。这说明列维飞行模式的搜索效率比较高，使整体作战效率提高，导致红、蓝双方稳定共存时间变小，作战过程明显缩短。

由上述结果，可以看出，本文所做的研究具有一定新意，为解释实际作战过程提供了新的理论基础。

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Research on the Lanchester Combat’S Dynamics in the Nearest-Neighbor and Long-Range Movement Mode

CUI Yiwanga,TIAN Baoguob,WANG Donga
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate Students’Brigade;b.Department of Basic Sciences,Yantai Shandong 264001,China）

In modern warfare,long distance transfers and deliveries of troops,such as airborne operations,special forces operations,etc,are frequently used.These operational problems are obviously different from those operation problems of nearest-neighbor movement that were studied through the spatial Lanchester equations in the past.In order to interpret modern operation problems above,in this paper,a new long-range movement mode--Levy flight was introduced.Then the spatiotemporal dynamics of Lanchester combat in the nearest-neighbor movement and long-range movement mode were studied by using the stochastic simulation method.The parameter conditions for stable coexistence and instable coexis⁃tence and critical curvesin those two movement modes were obtained.Next the evolution of patterns and changes of the densities’time series curves in the case of different parameters were studied.It showed that the dynamical effects of the two movement modes were different.Levy flight could obviously improve the search efficiency,thus improve the overall combat efficiency and shorten the combat process.

Lanchester equations;nearest-neighbor movement;levy flight

E91；O441

A

1673-1522（2017）04-0401-10

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.04.011

2017-06-16；

2017-07-06

院校基础研究基金资助项目（HYJC201708）

崔怡望（1992-），男，硕士生。