基于滤波模型的航空制导弹药剩余寿命分布

马长刚，李 青，陈 明，陈 丽

（空军勤务学院航材管理系，江苏徐州221000）

基于滤波模型的航空制导弹药剩余寿命分布

马长刚，李 青，陈 明，陈 丽

（空军勤务学院航材管理系，江苏徐州221000）

如何更好地利用技术检测数据来预测航空制导弹药剩余寿命，这是弹药质量控制研究中的一个重要方向。利用动态主成分分析法提取了航空制导弹药状态检测参数主成分，解决了弹药检测参数冗余、相互关联的问题，为剩余寿命分布研究奠定了基础。基于滤波模型和威布尔分布以及正态分布，建立了航空制导弹药剩余寿命分布模型。通过实例，就能很好地将弹药剩余寿命分布与弹药故障联系起来，并动态掌握其剩余寿命分布情况。

动态主成分分析；滤波模型；参数估计；剩余寿命预测

弹药的剩余寿命是指在规定的环境条件下能够贮存的时限，在此时限内弹药的性能和可靠性仍可满足规定的要求，定义为从检测点到下次出现故障的时间段，称之为弹药剩余寿命[1]。弹药是一种一次性使用的装备物资，出厂之后绝大部分时间都处于贮存、维护及检修状态，一次使用便使其寿命结束。因此，对于价格昂贵的弹药来说，目前技术保障部队采取的定期检测方式不够科学，很大程度上造成了弹药寿命的减损和保障经费的浪费。因此，根据制导弹药个体的状态检测数据来预测其剩余寿命分布情况就很有必要。

传统主成分分析方法只考虑到了状态信息间的互相关性，没有考虑到每种状态信息的自相关。如，制导弹药的某一项测试信息，每次测试是在不同的时间点，它在每一个测试时间点的数据之间是相互影响的。本文基于此，在从大量制导弹药状态检测信息中提取关键特征量时，采用了动态主成分分析的方法，同时，也考虑到了状态信息间的互相关和自相关[2]。

用于寿命预测研究的模型主要有滤波模型和比例风险模型2种。两者都能根据状态检测信息和寿命信息对弹药的剩余寿命进行有效地预测，比例风险模型主要是利用弹药当前时刻的状态信息对弹药未来的故障率进行预测，而滤波模型则利用弹药到目前检测时刻为止所有的状态检测信息预测弹药的寿命分布。滤波模型考虑到了弹药所有的历史状态检测信息，信息较为完备，有大量的历史测试数据做支撑，预测结果可信度更高。本文基于动态主成分分析提取的特征状态主成分，将其作为滤波模型中状态检测信息参数，建立了滤波模型，简化了滤波模型的计算复杂度，最终研究了弹药的剩余寿命分布。

1 状态检测信息特征量提取模型

1.1 多维自回归确定模型阶数

设对某制导弹药进行状态检测信息的采集，共收集到m种状态信息，用Zt表示t时刻状态检测信息向量，zt是各状态检测信息的值，则Zt=(z1t,z2t,…,zmk)是一个k维的随机列向量，而且假设每种状态检测参数的历史测试数据个数为n。应该考虑到t,t-1,…,t-p时刻的状态Zt,Zt-1,…,Zt-p之间的自相关关系。由于制导弹药检测参数多，数据量较大，如果考虑到t时刻前所有状态检测信息，会给计算带来很大麻烦，所以本文提取状态检测信息特征量的关键是确定滞后期p。本文利用时序分析中多维自回归（AR）确定弹药状态检测信息在时序上的滞后期p，具体步骤如下。

步骤1：数据预处理。对均值不为零的原始状态监测信息做如下处理：

步骤2：差分平稳化检验。经过数据预处理，此时的状态检测信息满足均值为0的条件，对其进行差分平稳化处理，使其成为平稳序列，先对其进行一阶差分得到一阶差分序列[3]∇Zt=(∇Zt1,∇Zt2,…,∇Zt(n-1))：

一阶差分之后，利用自协方差式（3）判断是否满足平稳序列要求：

若Ck衰减至0或接近于0，则可认为满足平稳条件，否则，利用二阶差分式（4）对一阶差分序列再进行差分，得二阶差分序列：

依次类推，直至满足条件。

步骤3：确定AR模型的阶数。由步骤2差分变换后得到弹药状态检测信息的平稳时间序列，建立k维状态变量的AR模型[4]。

定义：设有k维AR(p)模型：是k×1维零均值平稳序列，φj(j=1,2,…p)是k×k维矩阵，at是k×1维白噪声序列，at～N(0,)，并且具有零均值和方差的随机变量，则{zt}就称为k维自回归AR(p)序列，p称为模型的阶[5]。

根据以上定义，建立本文状态检测信息条件下的AR(p)模型：

文献[6]中提到的最小二乘估计法，对式（5）中的μ、φ1,φ2,…,φp、未知参数进行估计，并根据估计值取显著性水平α对AR(p)模型进行F检验，直至模型通过检验，AR模型的阶数p得以确定。

1.2 DPCA提取主成分

主成分分析法（PCA）利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标，即主成分，其中每个主成分都能够反映原始变量的大部分信息，且所含信息互不重复[7]。PCA方法中仅仅考虑到了状态监测信息间的互相关关系，而动态主成分（DPCA）不仅考虑到了状态检测信息间的互相关而且考虑到同一状态检测信息不同时序时刻间的自相关。

在求得模型阶次p的基础上，考虑到制导弹药状态检测信息间既互相关又在不同时序上自相关，采用动态主成分分析法提取状态检测信息的主成分，步骤如下。

步骤1：计算协方差矩阵。通过1.1中时序模型的计算检验，确定模型的阶次为p，状态检测信息间的协方差矩阵由互相关协方差矩阵C(0)，以及自相关协方差矩阵C(1),C(2),…,C(p)组成，此时的协方差矩阵为一个由(p+1)×(p+1)个m×m矩阵块组成的协方差矩阵，即C。每一矩阵块表示为：

式（6）中：i,j=1,2,…,p+1；Zit表示t时刻状态检测信息i的检测值；表示其检测值的平均值。

步骤2：确定相关矩阵。由协方差矩阵求出矩阵C的相关矩阵R=(rij)，i,j=1,2,…,m×(p+1)：

步骤3：计算相关矩阵的特征值。假设λ1≥λ2≥…≥λm(p+1)是相关矩阵R的m×(p+1)个特征值，且已按大小顺序进行排序。

步骤4：提取主成分。主成分的提取，通过主成分的综合贡献率进行确定，根据步骤3中的特征值的大小排序，前k个主成分的综合贡献率[8]为：

根据综合贡献率要求就可确定出k个主成分，即满足贡献率条件的前k个特征值所对应的测试参数。

2 滤波模型

由卡尔曼（R.E.Kalman）1960年首次提出的卡尔曼滤波是一种线性最小方差估计，适用于多维随机估计及非平稳过程。由于这些特点，卡尔曼滤波理论一经提出即受到了工程应用的重视[9]。

2.1 模型建立

在制导弹药剩余寿命预测中，xi为所要预测的剩余寿命，yi为所获得的检测状态信息，Yi为到ti时刻为止所获得的累积信息，在xi-1＞ti-ti-1的前提下，ti时刻的剩余寿命等于ti-1时刻的剩余寿命减去在时刻ti和时刻ti-1之间的间隔时间；目标是确定剩余寿命分布p(xi|Yi)，滤波模型[6]就是基于这样的思路建立的。要求p(xi|Yi)，就是求p(xi|Yi,xi-1＞ti-ti-1)的值，即：

根据式（9）～（12）可得：

为了简化计算过程，能够更好地利用动态主成分分析提取得到当前制导弹药的状态检测主成分信息，建立制导弹药剩余寿命预测模型，对式（13）作进一步推导，可得p种状态检测主成分信息下制导弹药的剩余寿命分布模型[10]。

只要p(x0|Y0)和p(yi|xi)已知，便可求出p(xi|Yi)，这样，在制导弹药主成分信息检测值不断更新的情况下剩余寿命分布形式也不断更新，能够动态掌握弹药的剩余寿命分布情况。

2.2 参数估计

建立了式（14）所示的剩余寿命预测模型后，在已有的历史检测数据基础上，可通过参数估计的方法确定制导弹药剩余寿命具体的分布形式。本文选用极大似然估计法[11]来估计分布方程中的未知参数。

假设参数估计模型中所用历史检测数据的样本对象数量为m，第i个样本对象在故障发生前最近一次检测的次数为ni，第i个样本对象的第j个检测参数为yij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,ni)，在tij时刻第i个样本对象的第j次检测时的剩余寿命为xij，第i个对象的故障时间为tif，到tij时刻第i个样本对象的历史状态数据为Yi,j，k是由前面提取出来的主成分种类数。根据以上假设，由条件概率密度函数确定的似然函数为：

由式（9）～（12）整理可推得k种主成分下的似然函数为：

由上面的通式，假设制导弹药的剩余寿命xi服从威布尔分布[12]，其状态信息yi则服从正态分布，即：

可知，需要估计的参数有A、B、C、α、β，将式（17）、（18）代入式（16）可得：

则对数似然函数为：

知道了对数似然函数，只需对其中各个参数求偏导，解方程组就可求解各参数。

在此基础上，各参数值代入式（17）～（20），并将式（17）、（18）代入式（14）可求得制导弹药剩余寿命的分布函数为：

至此，完整的制导弹药剩余寿命分布的预测模型就建立好了，只要有制导弹药完整的历史检测数据，就可以求得求解出制导弹药剩余寿命的动态分布函数[13]，为制导弹药状态的评价和后期剩余寿命的变化趋势的分析奠定基础。

3 制导弹药剩余寿命预测实例

实验共收集到5枚某型号制导弹药完整历史检测数据以及寿命数据，由于每枚弹药的检测参数较多，在求解剩余寿命中，迭代过程计算量较大，而且不同参数以及同一参数在不同时刻间都互相影响，因而本例先应用动态主成分分析法提取出几个关键的主成分，然后再进行剩余寿命分布的预测。

根据动态主成分分析算法，利用Matlab编写了状态特征信息提取程序，程序输入每枚弹药完整的状态检测数据矩阵{Zti}，按大小顺序输出特征值以及AR模型的阶数p，最终根据式（8）确定主成分。本例中，该型制导弹药的测试参数共有直流供电电流、反馈电压、导通电阻、XX线电压等5项，即m=5，总的测试次数n=6，最终求得特征值见表1，阶数p=2，i代表不同的测试参数。

表1 相关矩阵特征值Tab.1 Eigen values of the correlation

根据贡献率式（8），以贡献率0.80为条件，可得第一个特征值综合贡献率为0.8040，满足贡献率要求，即它所对应的第4项测试参数XX线电压为本例提取出的主成分。因此，可知滤波模型中历史检测数据的样本对象数量为m=5，结合每枚弹药完整的状态检测数据矩阵，编写了滤波模型的Matlab计算程序，估计了所求分布函数p(xi|Yi)中各未知参数，仿真结果为：A=4.2352，B=15.5427，C=1.6542，σ=1.9965，α=0.0235，β=2.331。将各参数代入式（21），便可由状态主成分在对应100 d、360 d、720 d3个不同检测点状态累积后的剩余寿命分布情况。主成分3个时刻的状态值如表2所示。

表2 状态值Tab.2 State value

根据计算结果可得到剩余寿命密度分布函数，如图1所示，就是p(xi|Yi)的分布曲线。

从图1中可以看出，曲线的最高点代表了当剩余寿命达到这个点所对应的坐标点时，航空制导弹药的故障率是最高。根据这一结果，在实际的技术保障过程中，完全可以根据分布曲线合理安排制导弹药的状态检测或者维修等保障活动，提高保障的有效性，从而很好地避免制导弹药的过剩检测或者维修检测间隔不合理影响保障效果的情况。

4 结论

本文将动态主成分分析法和滤波模型有效地结合起来，提取了航空制导弹药状态检测参数主成分，解决了弹药检测参数冗余、相互关联的问题，在此基础上，建立了航空制导弹药剩余寿命分布模型。基于威布尔以及正态分布，利用收集到的航空制导弹药原始检测数据，实例验证了剩余寿命分布预测模型的合理性与实用性。对航空制导弹药状态检测周期的决策优化及维修保养活动的安排具有重要的参考价值。

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Residual Life Distribution for Air Guided Ammunition Based on Filtering Model

MA Changgang,LI Qing,CHEN Ming,CHEN Li
（Department of Aviation ammunition Air Force Logistics College Department of Material Management,Xuzhou Jiangsu 221000,China）

How to make better use of test data to predict Residual life of Air Guided Ammunition is an important direction for Ammunition Quality control.We extract principal component for text data of Air Guided Ammunition by Dynamic prin⁃cipal component analysis(DPCA),which solve the problem as Detection parameter redundancy and inter relating,besides,which lays the foundation for the research of Residual life distribution.The Residual life distribution model was estab⁃lished based on Filtering model,WEIBULL distribution,and Normal distribution.We can commendably associate Residu⁃al life distribution with faults,and dynamically grasp of Residual life distribution.

dynamic principal component analysis;filtering model;parameter estimation;residual life prediction

TJ415.+4

A

1673-1522（2017）04-0395-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.04.010

2017-03-22；

2017-05-18

马长刚（1992-），男，硕士生。