“变式”，让数学更有魅力

王萍 逯晓蔚

所谓“变式”教学，就是在提供给学生教学素材的同时，能通过不断地变换条件、结论、方法、形式，将问题进行推广，让学生在变化、联系中寻求规律，从而达到训练学生发散性思维的目的。变式既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方式。通过变式训练，可帮助学生深入理解概念，灵活运用公式，提高学生观察能力、概括能力以及解决问题的能力，同时也能培养学生的数学思维能力。通过不同的知识和方法，对数学问题进行变式研究，有意识的引导学生在“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求“变”的规律，以此训练学生把知识转化为能力。

下面就从几道题目中体会变式在数学中的魅力。

题目一：在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，如图，斜率为 且不过原点的直线 交椭圆 与 两点，线段 中点为 ，射线 交椭圆与点 ，交直线 与点 ，若 ，求证：直线 过定点.

简析：设直线 的方程为

由 得

设 ，

易得 ，

，

则 所以

所以直线 的方程为 ，即直线过定点

变式1：在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，如图，斜率为 且不过原点的直线 交椭圆 与 两点，若椭圆上存在一点 ，使四边形 为平行四边形.求证：平行四边形 面积为定值.

解析：设直线 的方程为

由例1知，原点到直线的距离

，

由 为 中点，得

代入椭圆方程整理得

所以 ，

即

变式2：在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，如图，斜率为 且不过原点的直线 交椭圆 与 两点，若直线 过 的左焦点，且 中垂线交 轴与点 ，求 的取值范围.

解析：将 代入直线 方程得

中垂线方程，

令 得

因为 ，故 ，

所以

变式3： 在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，如图，斜率为 且不过原点的直线 交椭圆 与 两点，若直线 过 的左焦点 ，过点 且与直线 垂直的直线交椭圆与 两点，求四边形 面积的最值.

解析：

同理

，用均值不等式解即可.

变式4：在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，过点 作直线 交圆 与 两点，交椭圆与 两点，若 ，求直线 的方程.

解：（1）直线 斜率不存在时，

，不符合题意；

（2）当直线 与 轴不垂直时，设其方程为 ，

代入 ，整理得 ，

设 ，则 ，

所以

从而

，

由已知可求直线 的方程。

对数学问题的数学本质、基本技能和基本方法的理解是学生顺利解决问题的关键，教学中，教师一定要注重引导学生对数学概念、思想、方法的本质的探究与理解，通过合理构造变式、建立知识链接、经历概念重组、巧妙类比联想、及时拓展延伸等措施提高数学习题教学的有效性。

因此，教师如果想让学生体会到变式的魅力，应注意以下几个方面。

一、变式应有利于学生数学知识结构的优化

复习课上教师应从例题出发，运用逆向和横向思维，通过改变题目条件、变化问题的表面特征、将问题一般化等手段，使原来的一个单独问题，变成一类问题，再变成彼此联系的多类问题，学生通过对变式问题的研究、解决，形成完整的数学知识结构。

二、变式的内容与难度要有“梯度”

变式要由易到难、循序渐进，应限制在学生思维水平的“最近发展区”。要符合学生的认知规律，逐步深入，让学生跳一跳能摘到果子，充分激发学生的求知欲，让学生通过思考能够自己跨过一道道“门坎”，否则会使学生产生畏难情绪，影响问题的解決，降低学习的效率。

三、变式要注意培养学生思维的广阔性和灵活性

如在进行一题多解变式时，教师必须引导学生多角度思考问题，多渠道寻求问题解决的方法，通过不断追求解法的优化，培养学生思维的开阔性。在进行“一法多用”变式时，应不断引导学生将一个问题的解决方法正确运用到其他问题的解决过程中去，不断体验“如何将解题方法进行归纳并合理迁移”，从而形成解题技能，提高知识、方法的迁移能力。

四、变式要留给学生探索的空间

在复习课上，教师通过引导学生对例题解决进行深层次的探索，如变化条件、结论变式、等价变化、逆向探索、推广拓展等，师生一起获得问题的一些变式。学生在教师的引导下，通过独立思考或学生间讨论交流，挖掘出问题的变式，不仅有效开发了课程资源，同时点燃了学生创新思维的火花，帮助学生体验“化归”的技巧，形成合理的探究策略。

五、通过“过程性变式”，构建学生数学经验体系

过程性变式的目的是增加活动途径的多样性和活动过程的层次性，每个数学活动都包含一个或一系列过程变式，这些变式包括化归或探索的步骤和策略。数学经验系统（即过程）反映学习者主观问题解决的特定经验，经验系统的丰富和有效对于完善学生数学认知结构极为重要，构建特定经验系统的变式通常有三种方式：（1）将初始问题改变成一个铺垫，或者通过改变条件、改变结论和推广结论来拓展初始问题；（2）将同一个问题的不同解决过程作为变式，形成一个问题的多种解决方法，从而联结各种不同的数学知识；（3）将某种特定的方法用于解决一类相似的问题。

数学变式教学的实施，改变了学生对数学解题的恐惧心理，提升了学生对数学解题的浓厚兴趣，使学生心目中枯燥乏味的“死”数学演变成生机盈然的“活”数学。使数学的场就像空气无形在我们身边陶冶我们。同时，经过学生自主学习的实践证明，通过对数学问题的变式，提供适当地知识铺垫，由于教师向学生展示了数学知识的发生。形成与发展的过程，使学生体验到知识是如何从已有知识中逐渐演变或发展而来的，从而真正理解知识的来龙去脉，形成一个知识的场，将这种有层次推进的变式用于概念形成、问题解决和构建活动经验系统，帮助学生自己融会贯通，构建起良好的知识结构，培养出解决问题的能力，又避免了反复的机械性训练。一言而蔽之，学生通过训练三十道习题与其系列变式就可以收到普通学生需做一百道习题的效果，真正达到了教育界所倡导的“高质轻负”，同时让学生领略到数学的和谐、奇异与美妙，收到极好的学习效果。