利用坐标轴命名法突破y=Asin（ωx+φ）的性质问题

黄 涵 王圣荣

（1．三明第一中学，福建 三明 365001；2．三明市第九中学，福建 三明 365001）

利用坐标轴命名法突破y=Asin（ωx+φ）的性质问题

黄 涵1王圣荣2

（1．三明第一中学，福建 三明 365001；2．三明市第九中学，福建 三明 365001）

文章以函数y=Asin（ωx+φ）的性质问题为例，引入坐标轴命名法，介绍坐标轴命名法在解题过程中的应用方法。坐标轴命名法突破传统方法僵化的模式：横轴只能用x作为名称、纵轴只能用y作为名称，充分发挥平面直角坐标系在数形结合法应用过程中的工具性作用，灵活根据具体的问题需要，对横轴和纵轴的名称进行适时的变化。该方法不仅有利于教师利用平面直角坐标系讲解题目，让学生能够更好地理解教师的解题方法；也有利于学生不拘泥于函数的字母特征，将直角坐标系应用于广泛的数学问题中，提升学生的解题能力。

三角函数；正弦型函数；y=Asin（ωx+φ）；平面直角坐标系；数形结合思想

一、坐标轴命名法的产生背景

研究正弦型函数y=A sin（ωx+φ）的图像性质一般有两种方式。其一是以x为研究对象，作出y=sin x经过平移伸缩之后的图像，或者是利用五点作图法作出函数图像。其二是以相位ωx+φ为研究对象，将相位当成一个角结合y=sin x的图像，通过换元法完成性质问题的解答。

由于第一种方法有图像的支持，解题时对函数有直观的认识，学生比较容易接受。但是这一方法的作图过程比较繁琐，对于解答 y=A sin（ωx+φ）的性质问题所花费的时间较多。但是若ω，φ中有一个为未知数则无法作出图像，也就无法达到解题的目的。［1］

第二种方法对于解答比较常见的性质问题（如单调区间、对称轴）时，学生常用生搬硬套公式的方式完成解题。但这一方法采用了等价转化的思想，没有第一种方法那么直观，应用时比较抽象，对学生的理解力要求较高。

两种方法各有优势，也各有欠缺，如果能有一种方法能够兼收两种方法的优势，就可以实现解y=A sin（ωx+φ）的性质问题的突破，而坐标轴命名法就具备这样的特点。

二、坐标轴命名法的引入

坐标轴命名法是指通过对直角坐标系中的横轴与纵轴的代数意义进行命名，确定函数中变量间对应关系，进而达到研究函数性质的目的。以正弦型函数y=A sin（ωx+φ）的图像为例，横轴通常命名为 x轴，这一命名方法作出的函数图像随着参数ω，φ的变化而变化，这就让正弦型函数性质的研究变得十分复杂。如果将横轴命名为ωx+φ轴，那么根据等价转化的思想，根据“五点作图法”的列表可以得到与y=sin x相同的关键点。纵轴则依然命名为y轴，与y=sinx的纵坐标不同在于：y=sin x 的振幅是 1，而 y=A sin（ωx+φ）的振幅是 A。［2］结合以上的分析，作出

观察上表可以得出：当A＞0且ω＞0时，y=sin x图象上的点与 f（x）=A sin（ωx+φ）上的点形成等价对应关系。在教学中可以通过几何画板的演示，让学生直观地观察到这种对应关系。总结图像中所呈现的常见的几个等价关系：

（一）f（x）的单调区间等价满足 ωx+φ 所在的单调区间；

（二）f（x）的对称轴（对称中心）等价满足 ωx+φ 所满足的对称轴方程或对称中心横坐标特征；

（三）当 x∈（a，b）时， f（x）值域等价于 ωx+φ∈（ωx+φ，bω+φ）对应的值域；

（四）x对应的值等价于ωx+φ对应的值。

以上的等价关系同样适用于余弦型函数y=A cos（ωx+φ）的性质分析中。总而言之，将x作为研究对象时所具备的所有性质，可以等价转化为ωx+φ作为研究对象对应的性质特征。

三、坐标轴命名法在已知解析式求性质问题中的应用

例 1：（2013 天津卷·文 6）函数 f（x）＝sin（2x－）在区间［0，］上的最小值为（ ）。

A．－1 B．－22 C．22 D．0

图1

图2

四、坐标轴命名法在已知函数图象求参数问题中的应用

例 3：（2015高考新课标 1·理 8）函数 f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图像如图3所示，则 f（x）的单调递减区间为（ ）

图3

图4

五、坐标轴命名法在已知函数性质求参数问题中的应用

图5

A．11 B．9 C．7 D．5

图7

解析：

通过以上分析过程可以看出，利用坐标轴命名法，既可以采用直接找最简单、最常见的符合已知条件的区间作为思考切入点，用以简化解题过程，迅速找到所需要的答案。也可以通过写出相位ωx+φ所满足的一般形式进行求解，获得严谨的解题过程。

六、反思

由于坐标轴命名法下的横轴为相位ωx+φ，此时y=A sin（ωx+φ）图像处于相对固定的状态。在解题的过程中，可以根据已知条件的x的特征求出相应的ωx+φ在图像中的位置，然后结合图像写出ωx+φ所满足的方程或不等式，最后根据方程或不等式求出未知数的值或范围。［3］采用该方法的优势在于：在作图中已经完成了等价转化思想的应用，而且教师在讲解的过程中能够很轻易地利用图像表达自己的解题思路，而学生也能够通过图像的不断应用，提高自己对图像的应用熟练度和解题的灵活度。

坐标轴命名法不仅适用于三角函数的问题解答，在具体的实践中，很多复合函数的性质问题（单调性问题需先将内层函数转化为增函数）都能应用该方法简化问题的解答过程。

平面直角坐标系构建了代数与几何图形的桥梁，对解决许多函数的重要问题都起着工具性作用。既然是工具，就不应该在使用时僵化为横轴只能用x作为名称、纵轴只能用y作为名称，而应该根据具体的问题需要，对横轴和纵轴的名称进行适时的变化。这样不仅有利于教师利用平面直角坐标系讲解题目，让学生能够更好地理解教师的解题方式；也有利于学生不拘泥于函数的字母特征，将直角坐标系应用于更加广泛的数形问题中，从而提升学生的解题能力。

［1］林晴岚，陈柳娟，张洁.探寻高考数学试题之源，找准复习目标回归教材——以函数导数应用专题为例［J］.中国数学教育，2017（10）.

［2］林晴岚，陈柳娟，张洁.平中出奇 常中创新——2013-2015年高考数学全国（课标）卷特色探析［J］.福建教育学院学报，2015（9）.

［3］蔡剑锋，陈朝阳.立足教材巧拓展 理解真题识本质——高三复习对教材例、习题的理解、拓展及应用［J］.中国数学教育，2015（9）.

G471.2

A

1673-9884（2017）08-0062-04

2017-07-11

黄 涵，女，三明第一中学一级教师。