混合双分数布朗运动环境下支付红利的欧式期权定价

孙娇娇，芮绍平，张 杰

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

混合双分数布朗运动环境下支付红利的欧式期权定价

孙娇娇，芮绍平，张 杰

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

假定标的资产价格由混合双分数布朗运动驱动时，考虑在买卖期权交易过程中支付红利时欧式看涨期权的价值。在离散时间情景下，运用自融资风险对冲思想得到期权价值满足的偏微分方程。为了便于求解，通过Mellin变换将偏微分方程转变为一般的常微分方程，结合欧式看涨期权的终端条件，最终得到偏微分方程的解析解，即欧式看涨期权定价公式。

Mellin变换；混合双分数布朗运动；欧式期权；风险对冲；解析解

Abstract：Assuming that the price of the underlying asset is driven by mixed bi-fractional Brownian motion，this paper considers the value of a European call option with paying dividends in the trade process of buying and selling options. By a self-financing risk hedging argument in a discrete-time setting， the partial differential equation for the option value is obtained. In order to facilitate is solution， the partial differential equation is transformed into ordinary differential equation through Mellin transform. Combined with the terminal conditions of the European call option， the analytic solution for the partial differential equation is derived. The pricing formula of the European call option with dividends under mixed bi-fractional Brownian motion is obtained.

Keywords：Mellin transform；mixed bi-fractional Brownian motion；European option；risk hedging；analytic solution

混合双分数布朗运动是混合分数布朗运动和双分数布朗运动的推广。Kruk，Russo和Tudor[1]在2007年研究了双分数布朗运动的随机积分。在此基础上，我国众多学者展开了对混合双分数布朗运动模型的研究，如荆卉婷等[2]讨论混合双分数布朗运动在公司的违约概率、票息债券与股票权益以及信用价差中的应用。当股票价格由混合双分数布朗运动驱动时，徐峰[3]运用风险对冲原理建立欧式期权价值所满足的偏微分方程模型，并结合边界条件和热传导方程经典解的形式得到欧式期权的定价公式。张杰等[4]研究混合双分数布朗运动环境下企业的违约概率随参数值变化的期限结构性态，为企业规避风险提供一定帮助。

近些年来，Mellin变换常被用来求各种期权价值所满足的解析式，因为这种变换会让期权价值满足的偏微分方程变得更简单.Panini和Srivastav[5]运用Mellin变换得到欧式期权和一篮子期权的定价公式，接着他们又在文献[6]中对永久美式期权定价问题进行了研究。Elshegmani和Ahmed[7]利用Mellin变换推导出算术平均亚式期权价值满足的解析解。Frontczak[8]通过Mellin变换技巧来求解一个积分偏微分方程，从而得到跳扩散模型下期权定价公式。Yoon和Kim[9]利用双重Mellin变换得到Hull-White随机利率环境下障碍期权的定价公式。Kim和Koo[10]运用Mellin变换得到带有信用风险交换期权解析式并通过数值实验给出这类期权的一些重要性质。本文主要运用Mellin变换得到混合双分数布朗运动环境下带有红利支付的欧式期权定价公式。

1 预备知识

1.1 混合双分数布朗运动的定义与性质

定义1 设(Ω，F，P)是一个完备的概率空间，混合双分数布朗运动指的是以σ，ε，H和K为参数的双分数布朗运动和一个独立布朗运动的线性组合，其公式为

式中：Bt是布朗运动；BtH,K是以H∈(0，1)，K∈(0，1]为指数的双分数布朗运动；σ和ε是两个实常数，且σε≠0。

根据定义，可以证明混合双分数布朗运动具有如下性质：

性质1XtH,K是中心高斯过程，但既不是Markov过程也不是半鞅。

性质2 对任意的s，t∈R+，XH,K和XH,K的协方差函数为st

性质3 混合双分数布朗运动XtH,K(σ, ε)是H K-自 相似 的 ，即 对 ∀h＞0，过程XhHt,K(σ, ε) 和XtH,K(σ hHK,εh12)具有相同的分布。

性质4 当HK＞1/2时，混合双分数布朗运动具有长相依性。

由混合双分数布朗运动的定义和性质知，当H=1时，混合双分数布朗运动退化成混合分数布朗运动。

1.2 Mellin变换

定义2 对于可积函数f(x)，x∈R+，定义Mellin变换M[f(x)，z]，z∈C为

式中a＜c＜b。

事实上，当a＜R(z)＜b时，由式(2)定义的Mellin变换是收敛的，其中

引理1 (Mellin变换的卷积公式)假定Mellin变换fˆ( z )，gˆ( z )存在，则对于可积函数f(x)和g(x)，x∈R+，利用ˆ( z)( z )可给出f和g的卷积公式

2 混合双分数布朗运动环境下期权价格模型

2.1 模型假设

模型假设：①买卖证券过程中不考虑交易费用，即市场是无摩擦的；②证券交易是连续进行的，且允许被卖空；③不存在无风险套利机会；④投资组合每隔δt时间段调整一次，其中δt表示较小的时间步长；表示债券D在t时刻的价值，满足方程

式中短期市场利率r是常数。⑥令St为标的资产在t时刻的价格，假定满足随机微分方程

式中股票的期望回报率μ与红利率q均为非负常数.为方便研究，假定1/2＜HK＜1。

2.2 模型推导

定理1 设Ct=C( St, t )为欧式看涨期权在t时刻的价格，K为到期日股票的执行价格，则在股票价格满足随机微分方程(7)的条件下欧式看涨期权价值所满足的偏微分方程模型为

且Ct满足终端条件

证明 构造投资组合：Y1( t )单位的股票和Y2(t )单位的无风险债券.该组合在时刻t的价值为

式中δSt，δDt分别表示股票价格和无风险债券价格的变化量。

由于时间步长δt很小，从而由Taylor公式得到期权价格在时间区间内的变化量为

由假设③知，为了降低套利机会，投资组合的价值必等于期权的价值，即

由假设④，交易仅发生在t和t+δt处，故由式(12)和式(13)，得

从而得到混合双分数布朗运动环境下的欧式期权价值所满足的模型，即式(8)。

3 模型的求解

主要运用Mellin变换求出偏微分方程(8)的解析解，由此得到定理2。

定理2 假定到期日为T，敲定价格为K，则混合双分数布朗运动环境下欧式看涨期权在任意时刻t∈ [ 0 ,T ]的价格Ct为

证明 令Cˆ( St, t )表示欧式看涨期权价格C( St, t )的Mellin变换，则利用Mellin变换定义，将偏微分方程(8)变成

其解为

根据Mellin逆变换的定义得

则由引理2，知

由Mellin变换的卷积公式(引理1)及式(20)，得期权的价格

4 结论

本文假设标的资产价格服从混合双分数布朗运动模型，利用自融资策略得到带有红利支付的欧式看涨期权价值所满足的偏微分方程。运用Mellin变换得到混合双分数布朗运动环境下欧式看涨期权价值的定价公式，这种变换方法使得求解偏微分方程过程变得更简单，可用于奇异期权的定价问题。采用混合双分数布朗运动来刻画标的资产价格变化过程更符合现实的金融环境，在某种程度上比传统的Black-Scholes模型有所改进。

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[2]荆卉婷，龚天杉，牛娴，等.混合双分数布朗运动驱动的信用风险模型[J].黑龙江大学学报(自然科学版)，2012，29(5)：586-601.

[3]徐峰.混合双分数布朗运动下欧式期权的定价[J].苏州市职业大学学报，2015，26(1)：50-53.

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(责任编辑：沈凤英)

Pricing European Option with Dividends Under Mixed Bi-fractional Brownian Motion

SUN Jiaojiao，RUI Shaoping，ZHANG Jie
(School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China)

O211.6

A

1008-5475(2017)03-0050-05

10.16219/j.cnki.szxbzk.2017.03.010

2017-03-08；

2017-04-05

安徽省自然科学基金资助项目(1508085SMA204)

孙娇娇(1987-)，女，安徽怀宁人，助教，硕士， 主要从事金融数学研究。

孙娇娇，芮绍平，张杰. 混合双分数布朗运动环境下支付红利的欧式期权定价[J].苏州市职业大学学报，2017，28(3)：50-54.