遵从内在的召唤：李国伟研究员访谈录

阎晨光

(河北科技大学理学院数学系,石家庄 050018)

遵从内在的召唤：李国伟研究员访谈录

阎晨光

(河北科技大学理学院数学系,石家庄 050018)

李国伟先生的研究领域广泛,涵盖数学、哲学、历史、社会学等领域,并在数学的科普推广方面做出了许多工作。这篇访谈中李国伟先生主要谈及青年科研工作者如何开展数学史研究、如何处理数学和数学史研究的关系、如何从方法论层面认识数学研究与数学史研究等问题。

口述史 数学 数学史 数学哲学 方法论 李国伟

李国伟,数学家、数学史家、数学活动家。1948年出生于南京,1949年随父母迁居台北。早年间就读于台北幸安国小和台北建国中学,后考入台湾大学数学系,1971年到美国杜克大学求教于逻辑学大家旬菲德(Joseph R.Shoenfield,1927～2000),1976年获博士学位后到台湾“中研院”数学研究所任职,并于1987年至1993年担任台湾“中研院”数学研究所所长。李国伟先生游历甚广,足迹遍布欧美,著述丰富,目前的研究兴趣主要在组合数学,旁及数学哲学、数学史以及科学文化。本访谈录基于2015年7～8月笔者在“中研院”数学所对李国伟先生的两次访谈以及若干次谈话。

1 数学与数学史的不同认识论

阎晨光(以下简称“阎”)：在文章中您曾提到“方法论立场的选取会影响我们对史实的品评”。我在想：是不是对于某个历史事件,数学家和数学史家的认识可能会存在某种偏差？您怎么看这个问题？

李国伟(以下简称“李”)：这是一个很好的问题!其实我给你的几篇文章有的写了蛮久,有些具体细节我记得不是特别确切,不过文章大体的主轴看法和想法(在我头脑中)多年来一直是差不多(不变)的。我比别的数学家对数学史和历史方法关注更多一些,我觉得一个数学家——纯粹数学家——如果没有特别的历史警觉性,他认为自己谈论的就是数学的历史,可是那种东西跟真正的历史有很大出入。无论从历史方法上看还是真去看历史文献,这是西方数学史家都没办法否认(有这种理解偏差)的。问题是这种偏差反映了什么？尤其近现代数学史,数学实在太难,对于这部分我不能做更多评论。对于我比较熟悉的数学方面,有时间可以另外再讲,也可以提供给大陆研究近现代数学史学者涉猎和思考。世界一流数学家的经验非常值得参考,但他也可能会沉浸到所研究的数学中。尽管有其一定的学习、传承脉络,但这个脉络会影响他的看法。即便是在纯数学中,不同背景的人看法也不一样,所以数学史家能有一点这方面的意识,数学史本身也会有独立“生命”,并不是完全依附于别人的。我推荐你可以看一个人的书,其实我送给你的文章里也提到过,我一直认为组合数学家罗塔(Gian-Carlo Rota,1932～1999)*意大利裔美国数学家、哲学家。的文章和思想非常值得重视,我对他非常推崇,他的思想跟西方许多数学家非常不一样。

他是麻省理工学院(当时)唯一一位数学和哲学双科教授,组合学领域的一位开山人物。尽管哲学家并不把他的哲学当回事,他的数学哲学影响力也有限,但我觉得他的很多理论都非常深入。罗塔原是意大利人,年轻时跟随父母迁往美国。他的哲学主要采用现象学(phenomenology)方法,他非常推崇胡塞尔(Edmund Husserl,1859～1938)*德国哲学家,现象学创始人之一。。胡塞尔也是数学家出身,有很深的德国唯心哲学传统和背景,可是胡塞尔的现象学晦涩难懂!但是你去看罗塔讲的内容,从数学家的经验角度出发,有了方法论支撑,就没有那么晦涩艰深。

罗塔认为数学家传道(preach)时所讲的理论跟他们每天(day to day)去做的事情不是一回事。简单来说,数学家每天的活动跟他组织好后发表的文章是有区别的。当然并不是说表面的东西就没有价值,如果你只关注数学家发表的东西,就无法看到数学家个人或者群体生活里面的内容。又比如数学家谈到的一些不能形式化(formalize)的东西,譬如美(beauty),数学家会说某个理论很美,而且会有高度共识,我们无法否认数学的美有某种客观性,尽管这种客观性没办法纳入形式化体系,而且到目前为止都没办法把它严谨化。涉及到数学美、数学的深度等等,罗塔称之为行话(shoptalk),就是数学家聊天时都知道是怎么回事,但和用逻辑体系所展现的那一面非常不一样。所以,对数学家日常生活的这些东西,先不要把它形式化,也不要先入为主,不要认为只有英美的分析哲学才有深度,而应该首先回顾真正的活动是什么。[1]比如说素数定理的证明,19世纪高斯最早从经验出发认为这是正确的,数学家也都相信如此,但不知道为什么如此。第一次严格证明由阿达玛(Jacques Hadamard,1865～1963)*法国数学家,1896年用复变函数理论证明了素数定理。学生中有法国布尔巴基学派的创始成员之一韦伊(André Weil,1906～1998)。和德·拉·瓦·布桑(De la Vallée-Poussin,1866～1962)*比利时数学家,1896年证明了素数定理。用复变函数论方法给出,证是证出来了,但大家觉得素数定理为什么要用复变函数理论呢？所以,大家都不满意,就去寻找简化方法并设法让证明回到最基础的内容。经过许多数学家的努力,到了爱尔德什(Paul Erdös,1913～1996)*匈牙利数学家,20世纪最多产的数学家之一,一生中有超过500位合作者。和塞尔伯格(Atle Selberg,1917～2007)*挪威数学家,1949年与爱尔德什完成了素数定理的初等证明。用几乎是算术本身的性质证明了素数定理。那时塞尔伯格(相对爱尔德什)更具有传统数学家的优势,爱尔德什的工作则被认为太初等,过于零碎,搞得他在普林斯顿高等研究院都待不下去。可是过后你去看这两位数学家的贡献,爱尔德什那种开放的思想和方法,其概率思维配合现在如火如荼的电脑,这种开创性非常非常广!再比如说阿基米德,不管是用穷竭法还是其他什么方法总能得到结果,而且结果也非常深刻,欧几里得其实是整理别人的现有理论,如果只能按照欧几里得的系统来发展,就不会有别的理论,数学就无法发展!对不对？数学史上一直有这种辩证、互动、竞争的关系。

罗塔还指出要注意并不被主流所观察到、但其实对数学发展有重要影响的东西,这些是不能形式化的,只能不断地讲出来,阐释他们到底在做什么,刚才的素数定理就是一个例子。前几年素数定理在AMM*即American Mathematical Monthly,《美国数学月刊》,1894年创刊,由美国数学会主办。上两页就可以证明了。从最早那么复杂到最后的两页证明,从现象上来看,原来搞不懂,好像很唬人,其实到最后核心非常简单。罗塔认为这个过程就叫“破迷”(debunking)*谈到这里时,李先生的原话就是用的“debunking”,笔者这里使用“破迷”这个词语来表示debunking。,就是要“拆穿他的戏法”的意思(当然这有点夸张了)。

另外,他认为数学定理追求简单化(trivialization),就是要把数学变得非常简单。罗塔讲的数学发展脉络跟通常方向是非常不一样的,他的许多看法都非常有启发性。我本人受到辩证思想很大影响,一向觉得所有事情都有两个方面,并不因为一个结论就把原来理论全部推翻,而是要两边都审视之后才能弄清楚事物的整体发展,才能看清楚哪些脉动的影响是深远的,而这个看法或事情本身就在历史中辩证地来回翻转。

又比如希尔伯特(David Hilbert,1862～1943)*德国数学家,哥廷根数学学派的核心数学家之一,1900年在数学家大会上提出23个数学问题,对20世纪数学发展的进程产生了深远影响。,大家认为他是形式主义代言人。我印象很深的一件事情是,多年前吴文俊先生在台湾谈起机械化证明。他说这个思想的来源一个是中国传统数学,另外一个就是希尔伯特《几何基础》的前言,在开头一段文字中隐含着机械化的过程。当然我也没有系统去读这本书,大家一般印象就是希尔伯特在这本书中主要研究几何公理化系统。可吴先生说希尔伯特在前面讲他的思维过程时带有一些机械化思想的意向(intention)。所以,我觉得这些发展都是非常错综复杂的。比如有些知名数学家,他讲历史会带有一种倾向,这种倾向被称作是“辉格式”历史,就像那种英雄史歌,当然都很壮观。但我觉得数学史研究以及近代科学史研究,跟传统不一样的地方在于：(人们)更感兴趣(反而是在)那些坑坑洞洞断裂或者矛盾的地方。

阎：或者是事情发生转折的地方？

李：对!有些纯粹数学家通常抹掉这些不去关注,因为如果关注太多就会搞不清整体脉络。他们所关心的是从现有知识中证明(justify)出来的,(有时)纯数学的看法和脉络就是这个样子!

说到这里我们可以探讨一个问题,那就是思考的角度和方式。就拿数学中的“角(angle)”来说,怎么去理解？有人认为角是两条直线所组成的(几何关系),有人认为角是两(相交)直线间的平面部分,就看你怎么看它。中国古代的角大概都跟现今的直角有关系,别管怎么出入相补,割一部分再补上一部分,总之是从垂直和直角这个关系出发的。但是西方几何中有任意角概念,你看欧几里得《几何原本》中角的定义,在希思(Thomas Little Heath,1861～1940)*英国数学家、古典学者、古希腊数学史家,将欧几里得等古希腊学者的著作翻译为英文出版。的批注版本里有很长的分析说明。这里面有一个类似于格式塔的概念*格式塔属于心理学概念,也是西方现代心理学的主要学派之一。该学派主张研究直接经验(即意识)和行为,强调经验和行为的整体性。,就是说虽然资料是一样的,但从不同角度出发,根据不同想法会有不同理解。当然这也是因为数学家教育背景不同、工具方法不同,导致看问题的方法也不同。

众所周知,史料对数学史研究很重要,在台湾要发掘新的数学史料是很难的。上世纪老前辈所作的工作就是根据所发现的数学史料,分析古代数学家都做了些什么,跟西方类似工作的关系是什么？我没有选择继续这样做,当然并不是因为没有民族性,而是已经不能那么做。在这一点上,我倒是同意曲安京教授的某些提法,比如他提到要重构数学史、研究数学史的第三种进路等等。

我们并不特别注重谁在哪一年做了什么事情,因为这些矿脉已经被挖得差不多了,而是注重这些工作之间所沿袭或秉承的路线,然后将其脉络阐释出来。当然,因为你掌握的是一系列散的史实或文献资料,因此就会有不同的解释和阐释方式,可能对某种阐释方式也会有不同看法,这都没问题!我们所要做的是按照内在关系将数学发展的各种可能都进行推演和阐释。这种阐释不仅可以将这些史料组织起来,告诉你数学是怎么发展的,还会让你有一种整体感觉和图像,最重要的是还对数学教育有一种现实作用和影响。有些数学研究过于注重逻辑和抽象,写出来(的书)一个个定义和定理相连,(当然)这是数学发展到一定程度非常成熟的表现之一,但你很难看到背后的数学发展脉络,这就需要数学史或者哲学方面更多的工作和研究。

2 数学史研究的方法论

阎：您认为中西学者在数学史的方法论上有没有明显的差别？

李：我的直觉、从旁的观察是：西方任何一门学问都有它的学术(scholarship)传统,包括科学史、数学史的种种传统,有它很严谨的一套做法。当然他们的方法不见得是唯一的,问题是如果你(要到西方人的天地里面)不使用他们的方法就很难得到认可。如果你认为这不是唯一方法,用其他方法得出的结果也值得注意,(你认为)理论上这个是可能的,概率大于0,但是大到多少,你有没有做出一套理论让人家信服？我认为这是有可能的,但必须要拿出成果来,现在成果还没有到让人家信服的程度。回到中国这个问题上,一定要经过梳理资料的一个阶段,以这个作为客观基础。以前根本不重视这个,或者有些东西本来跟这个有关系,但是我们不知道,也没有这个眼光。所以一定要累积资料、史料,这是老一辈所做的事情。现在积累还没到一定程度,就因此说中国人搞数学史不行,我觉得下结论也太早。

第二个中国人因为近代历史的(屈辱)状况,之前某一段时间一定会从民族性出发说明中国人不比别人差等等,这个是客观存在的,没有办法,要慢慢等。比如现在改革开放30年,国家强大了,有了自信心,对西方文化了解也更深刻了,慢慢就会解脱。像我自己刚开始搞数学史时,从来不管中国先不先后不后这些,我的兴趣在于人的高等思维为什么会有不同或者其他什么。我不是去比先后,而是看脉络发展、对比,我是把数学发展当作研究样本来看待。所以,民族情感其实不是我的考虑,如果我研究里面提到中国(在某些方面)比别人有优势,那是分析了数学发展状况后意识到的,不掺杂任何民族情感动机在里面。人太受民族情感的影响,就会不冷静,我想年轻人受方法论训练多了以后,慢慢应该会冷静下来。

举一个简单例子。比如《庄子·天下篇》中有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,很多研究者就因此说中国古代有极限的概念,但这个跳跃太快了。每天去一半,万世不竭,但万世也是一个有限数,(最多)只能是算多少次方。如果硬要把它用现代符号来讲,说无穷之后有(没有)极限,这个跳跃太大了。所以我们很多都是“望文生义”,急着替老祖宗争光,连概念上真正巨大的鸿沟都不知道,就以为能跳过去,这就是专业训练的缜密度不够。这个问题没有必要替老祖宗说什么,你讲到哪里就是哪里,我们关心两个“样本”的对比,到底发生了什么事情,为什么不同等等,以后搞数学史的年轻人会慢慢脱离开这种(民族情感的)情怀。

积累了足够资料后,就要看所选择的问题,也就是你想要了解什么。假如你选择一些有深度、能真正发展的问题,就有机会做出让西方承认的成果,这其实与数学研究也有一点关系。以台湾为例,早期我刚回到台湾时消息非常闭塞,至少很有限,信息的传播也比较慢,我怎么跟人家第一线的外国人去争抢研究前沿？那时我就体会出一个方式,带学生的时候我就跟他讲：首先你要回到非常基础的定理,思考它为什么会变得那么基础。基础的东西表面看起来并不难,可是它是一些主题的发源地,会有不同的发展方向,慢慢发展后枝叶就非常茂盛。你要跟人家抢那些枝叶的末端,消息不如人家灵通,你抢不过人家,所以总是落后,对不对？那我不跟你抢那些,你那个难是很难,但可能会钻进牛角尖,而且不见得有那么大意义,我回到根本的地方。它之所以根本,是因为其内在面貌非常丰富。这样我就换一个角度看,重新审视这些基本理论,就可以发展一个不同的方向。

譬如我研究的组合数学,我是怎么得到这个经验和信心呢？1976年我从美国回来后,逻辑也不能做,学术研究往哪里发展呢？后来通过黄光明老师,我知道原来组合学也是一门新兴学科。我就做了一个关于施佩纳定理(Sperner theorem)的东西,这是有限集合簇方面发展非常多的一个理论,我换了一个角度从它根本的地方问了新的问题。1980年的时候这篇论文发表在《组合理论学报》(JournalofCombinatorialTheory)上[2],这是组合领域最顶尖的学术期刊。这篇文章是我(从逻辑学)改行(到组合数学)后第一篇文章,也是台湾第一篇发表在这个期刊上的组合学论文,台湾组合数学界就把我当作头头,原因在这里。我那次得到的经验就是：技术不要最难,但问题必须是最顶尖的,这是一条可行的路。你不能完全跟人家抢最末端的前沿,那样会永远落在人家后面,研究的问题可能难得要命而且不见得有意思。可是你回到那些重大领域的开端问题,尝试从不同角度去看它,用的技术不要那么难,得出来的结果任何人都不能忽略,因为这是一个领域的主要源头,有任何新的结论别人都会注意到。我觉得数学史研究也是这个样子,问题是数学史中什么是那个比较基本的问题,这跟数学选题有些不太一样。

阎：您之前就有这种想法,还是经过对现状的一些考虑才产生的？

李：因为组合学我是自己半路学的,不知道这个领域的热门是什么,只是心里觉得原来的逻辑走不下去了,要找一个方向,朦朦胧胧知道一点片段的东西。那时候同办公室一个做分析的人跟我讲,有些分析问题做到最后的核心部分就是组合,并跟我讲了碰到的一个困难。我当时没什么事可做,就把他的问题再简化,继续“剥”下去,到后来就是一些有限集合谁包含谁、求那些极大极小值之类的东西,再去查资料,原来这方面有一个施佩纳定理作为核心,在20世纪60和70年代已经发展了不少东西。

阎：这是偶然发现的问题,但是研究方法还是经过您深思熟虑的。

李：对,我研究了这个问题之后,特别有这么一个体会。本来整个领域我都搞不清楚,也没有预期这个问题做出来有什么价值,会不会引起人家注意等等,结果投出去还发表了。那时候也是勇气大,也不在乎多一篇文章发表,台湾当时也没有人可问,干脆就从最好的投起吧,即使不发表,总要打回票给我点意见吧,况且我也不在乎打回票,没想到很快就接收了。我不知道怎么回事就一箭中的,就去反省为什么人家会重视这个东西,就归纳出前面讲的那一套。后来我带学生做的东西,基本上都带有这个味道。我自己没有耐性把技术搞得那么深刻,也不喜欢那种钻牛角尖的题目,我喜欢回到最基本、比较结构性的问题,技术性不要太难。

阎：但是这个问题必须是一个比较重要的问题。

李：必须是主流,或者是可以作为人家出发点的问题,后来的数学研究我常采取这种方法。

阎：我想这个对数学史,特别是对近现代数学史研究,也是适用的。

李：当然具体细节我不太懂,我认为从这个角度来看,是有一些值得去做的方向。我觉得要跟西方人不太一样,但又不要离开其核心,这个做出来会吸引人。我暂时有一个想法,当然不见得准确。比如有关法国数学家的工作,如谢瓦莱(Claude Chevalley,1909～1984)*法国数学家,布尔巴基学派创始人之一。等,纯数学当然是非常重要的。你可以做一个对比,因为我做组合学,对计算理论、逻辑有兴趣。其实19世纪布尔发明的逻辑是特别非主流的,虽然跟代数有关系,但根本就不是当时代数的主流!结果特别非主流的布尔代数,经过麻省理工硕士生香农(Claude Shannon,1916～2001)*美国数学家,信息论创始人。硕士期间,香农使用布尔代数分析并优化开关电路,奠定了数字电路的理论基础。发展之后跟电脑有了关系。又比如图灵(Alan Turing,1912～1954)*英国数学家,被誉为人工智能之父。1936～1938年间,图灵在普林斯顿大学跟随丘奇做研究,并于1938年获博士学位。,他的文章中证明那些不可决定等等结果其实都不是他首先做出来的,有些是丘奇(Alonzo Church,1903～1995)*美国数学家,在数理逻辑及计算机科学理论领域做出了开创性的工作。先做出来的,可是为什么现在图灵的模型越来越重要？因为丘奇的理论适用范围有很大局限性,但图灵的理论有更广泛的适用性。所以,不一定是最先做出结果的人最有影响。在某种程度上,逻辑方面和人的认知发展是不太一样的,这个我之前也提到过。逻辑等价的不同理论,如果有一个更适合大家发展,就会对人类文明产生(更大)影响。我们不能只从纯数学家的角度看数学,当然这并不是要否认数学家的评价,但更重要的是数学对人类文明的影响,对其他科学的影响,这也是我的兴趣所在。谁都不能否认,图灵的理论通过计算机对人类文明影响竟然这么大。

刚刚讲的是一个背景,那么我来问你一个问题：从布尔巴基*20世纪法国数学的一个学派,使用Nicolas Bourbaki的笔名发表文章,因而被称为布尔巴基。布尔巴基从结构出发看待数学、开展数学研究的方式对数学界具有深刻影响,其主要工作是在集合论的基础上用公理方法重新构造整个现代数学,出版了多卷本巨著《数学原理》(Éléments de mathématique),其作品追求彻底的严格性和一般而又抽象的叙述方法,这被称为“布尔巴基风格”。到格罗滕迪克(Alexander Grothendieck,1928～2014)*法国数学家,现代代数几何的奠基者,曾经是布尔巴基学派的骨干成员之一。,法国人对当代纯粹数学的影响当然很大,对数学统一影响也很大,那么对人类影响很大的计算理论,法国人有什么贡献吗？

阎：您是说在20世纪初那段时间里面吗？

李：从19世纪末布尔代数开始到现在吧。这期间一些重大的事情,概念上的重大转折,这种演算思维(跟我们中国传统数学有很大关系)、算法(Algorithm)的数学发展,目前看对人类影响非常非常大。法国数学是讲究统一、抽象,我们提这个问题之前,你就没觉得这里面有问题,你就被法国数学那一套的辉煌罩在壳里面了。

阎：对啊!我之前没有觉得这里面有问题。

李：在东方如果搞西方数学史,到他们的领域里面去,你就比他短口气,因为他的语言等等都比你厉害。可是我现在提出不同的问题：从历史发展看,数学对文化的影响,统一抽象和算法规则哪方面比较重要？为什么法国发展出这种东西？为什么算法等在另外一个地方得到了发展？这种对比,(我印象中)西方也没有深入了解和研究,可是这种研究对数学本质其实很重要。正如纯数学家所说：数学的统一是一个梦,这是一个“迷梦”,搞不好害了数学也不一定。现在的年轻数学家,比如陶哲轩*华裔澳大利亚数学家,2006年因其在偏微分方程、组合学、调和分析及数论等方面的贡献而获得菲尔兹奖。也强调数学统一性,可他并不是搞一个很抽象的理论,他的统一性强调不同方法不同问题的互通,是一种互通的统一。陶哲轩研究的问题当然(外行觉得)很抽象,对数学家来讲,他研究的很多问题都有具体应用,这跟法国人的统一是不一样的。法国数学发展,跟拿破仑以来法国的心理也有关联。英国人因为在非主流边缘,所以就将很冷门的逻辑思想发展得很好,对人类产生这么大的影响,当初他们自己也不见得知道这套理论将来那么重要。所以,数学发展要多元,不能随便瞧不起那些边缘理论。现在图灵的身影越来越由淡而浓,重要性越来越高,将来甚至重要性会超过哥德尔(Kurt Gödel,1906～1978)*奥地利裔美国数学家、逻辑学家、哲学家,对现代数学及数学哲学有重要影响。!哥德尔对纯数学逻辑基础的研究当然很深刻,可是他概括的形式很难推广到直接计算。所以,你看最后对人类的影响,是法国数学的抽象统一影响大呢,还是图灵等人的计算方面的大？我认为要从更多角度来看数学的发展,而且要超越克莱因(Morris Kline,1908～1992)*美国数学家、数学史家,其出版的《古今数学思想》及《数学：确定性的丧失》等在数学史界享有盛誉。那种内史方法,就是要研究数学跟文化、社会的互相影响,这种研究成果能让数学在人类世界里面的存在更有道理。这样关联起来,你就会发现数学三千多年发展,不断地推陈出新,有它自己的道理。所以,要有一个全盘看法,而不是只在数学里面,这样的话,对社会和历史当然要知道一些,可是也不需要陷入里面的细节。

阎：这是一个很好的问题和方向。

李：是的,如果问题本身的基础很有趣,数学技术并不需要那么困难,反而你做的东西人家觉得很有意义。

阎：您在论述证明时提出“证明就是一个说服过程”,并写道：严谨性的起伏变化,是在一种社会因素的基层上流动,也就是一种相对于数学社群的传讯标准。后面的这个“传讯标准”怎么来理解呢？我感觉您刚才上面的话,好像也在表达着一种观点：数学家群体的看法也会反映到时代的标准？是这样吗？

李：大概意思是说,所谓严谨性本身也不是(抽象出来)绝对的[3]。中古时代的数学家靠通信来传达知识,如果有一个数学家能共同接受的严谨标准,那沟通就可以继续下去。当然通信大概要比书的严谨性弱一点,可是为什么数学家之间仍然可以沟通,知识仍然可以传递,而不是完全胡说八道？原因在于,严谨严格的标准并不是形式化出来的东西,而是通过沟通存在于共同体里面的,跟共同体是共存的。当然严谨性本身也会变化,看什么东西都要有一个时间演化的眼光。

3 数学和数学史遵循的进路

阎：虽然我们有“格物致知”的一贯传统,但现在“学以致用”的论调更占主流,学东西就是为了去应用,经世也好,治国也好,我们很少(像西方那样)去研究一些看似无用的东西。您怎么看我们的这种传统？

李：这本来就是我们传统文化里面很浓重的一种思想,甚至随着西方经济发展,就连英国的高等教育也受很大影响。我今天早晨还在想：有时候同样的事情从不同角度去理解和描述就会有差别。古代大部分人的生活是很苦的,掌权的有钱人就让一些学者(不管是他们所眷养的学者还是其他的学者)有余力去研究一些影响深远、暂时与国计民生没有关系的东西,这种思想后来对人类文化有重要影响。现在大部分民众生活上基本没有什么特别担忧的地方,主要精力用来发展经济,反而是能有余力、不受功利影响进行思想的空间被挤压得越来越小。其实科学研究应该有相当的部分不能完全计划和预期,大自然就是如此。大自然怎么可能让你处处可以预期？认为科学研究可以通过计划来完成,完全就是“人定胜天”思想的另外一种表现,但人不可能绝对胜过天,“人定胜天”是一个好的意向或意愿,科学之所以能发展是因为大自然有其不可预期性。当然有人会说如果不计划的话,可能会有人在里面瞎混。任何东西,包括社会的管理,计划得好就需要付出很多其他成本。前几年有人曾攻击美国的社会福利制度,说竟然有人都死掉好几年了还在领钱,后来有学者提醒说美国现在的制度已经做得比较精密,如果系统和制度要将所有的弊病都清除掉,需要很高的成本,其实这是一个平衡问题。假如社会发展变成“学”必须要“致用”,“研究”都有“目标”,而没有留下余裕空间,我不觉得长远下去对科学本身有好处,更不要说对知识和文化的影响了。如果留下了余裕空间,大家都认真对待学术,钻空子的人只是极少数。对整个社会而言,是付出了那一点成本,但这样就能让科学研究真正最核心的价值得以长远地发展下去,付出一点成本也值得。所以,功利思想太严重对人类思想的长远发展是有坏处的。特别是现在人类面对地球环境的严峻考验,很多事情是我们以前不了解的,这种复杂系统的内部关系错综复杂。如果没有余裕空间让人思想上可以互相联通和想象,就根本无法知道整个宇宙是怎样一种互相的关联关系。当然要解决社会问题,也要强调数学跟社会文化,要靠辩证思想,事物的某一方面是重要的,但是不能完全都搞成那样。所以纯粹学术思想要给人以自由空间还是最要紧的。

阎：这就引到下面一个问题,作为横跨数学及历史,研究涉及离散数学、数学哲学、数学逻辑、数学史、数学文化多个领域的数学家,您认为年轻学者——既包括数学工作者,也包括数学史工作者——在科研起步时,应该遵从先数学再历史的道路,还是先历史而数学的进路？

李：其实我不能摆出一副“前辈”的态度来说,我讲的完全是自己的感觉。我本身是自然地发展,并不是当初特别着意去计划什么。有的时候学生也会问我这个问题,基本上我的回答就是内在的召唤(inner calling)。当然这句话好像比较抽象,就是说人的内心,或者你的秉性其他的说不清什么因素,如果觉得某件事情非常吸引你,从内心发出热忱要去做这件事,你也有精力去做这件事情,就不会感到疲倦。所以,年轻人最要紧就是有机会去尝试各种事情,之后听从自己的内在召唤,到底什么事情让你觉得感动？如果有那样的感动,你就尽力投入,即使现在不是主流方向,毕竟那只是外在环境。如果你投入了,可能会有完全不同的看法和新的建树,而且学术传统从来也不在于势力是否壮大之类的因素,而在于能不能讲出一些事情让人真正觉得受到启发。当然我用的这些字眼,也很难去定义,因为很难用传统的话去描述,但你还是可以了解大概意思。年轻的时候就拼命计划将来要做哪些研究(是不行的),世界变化如此之快,现在你觉得有发展,但十年之后会是另外一番情形了。所以,我认为基本上还是自己从心里要感动,我小时候就受到历史、哲学的吸引。近现代数学史研究的困难,我了解一些,其实台湾的数学史几乎都不能称作是一个行当,只有少数个别人在做。洪万生老师在台师大,他的学生有些已经是中学老师,没有就业顾虑,硕士和博士就做数学史研究,但也没有形成西方那样健全的学术圈。即便如此,我们个别对数学史有兴趣的人还是不绝如缕,一直在做自己的研究。

我觉得有两点,一是计算理论这种边缘理论跟法国主流数学中心的历史研究,厘清这种历史不完全是为了数学家服务。纯数学家那种辉格式的历史讲法有其作用,是为了要发展数学理论。从历史学家来看数学发展中的成功和失败,成功不见得比失败更精彩。为什么有些本来处于边缘的思想,后来印证于社会的发展从而成为主流。这些课题是很重要的,西方人也不见得在这方面着力那么大。这是第一个可能。

另外,虽然罗塔并没有给出一套完整理论,但是你从他提出的角度来看近现代数学就充满了有趣的事情,而且与人文学科有一种互通。论文和教科书中所表现的数学家,是装点好门面的数学家。用罗塔的话讲,那只是数学家表示出来的一种方式和面貌!作为一个人,数学家的七情六欲以及数学发展中的成功失败、群体间的紧张关系或者数学家自己的心理状态,这都是历史研究可以更有趣更丰富的另一面!当然现代数学发展如此迅速蓬勃,这种研究还是需要更多的数学专业知识,但都不是不可及的。你花点时间读他们的文章,知道他们在做什么,也不是不能克服的。我觉得最近一百年的数学界太精彩了!我小时候怎么会想到费马定理和庞加莱猜想能够得到解决,但不到半个世纪都解决了,这给我们提供了非常有趣的材料!如果是纯数学家,注重数学的细节则是另外一种搞法。如果一名数学史家来考察数学共同体的发展,库恩(Thomas Kuhn,1922～1996)*美国历史学家、科学史家,其代表作《科学革命的结构》在自然科学界和社会科学界都有深远影响,他提出的范式及范式理论已经成为经典模式和方法。提供的这些提法都是可以参考的。

阎：比如范式的提法？

李：对,现在不怎么提了,二三十年前讨论数学里面有没有革命,南京大学的郑毓信老师还跟我写过一本小书,讲数学哲学里的革命[4]。他在英国跟外国学者也写过一些外文文章。

阎：这一方面是不是西方开始更早一些？他们不只关心数学本身,对外史研究也非常重视。他们感兴趣的点就是您所说的数学跟人、跟社会的关系。

李：对啊,从知识角度来说,我前面说的西方如何,并不是我看了他们的研究报告才这样讲,而是跟他们不谋而合。问题很简单,因为搞当代数学史的数学太难了,并且数学还一直在发展。尽管数学内史会引起数学家的共鸣,但我觉得近现代数学史中历史的味道比数学要高,而历史最关键就是人!所以你要研究共同体中人的变化、成功与失败,就是我刚才所说的：成功的故事不见得比失败更精彩!

阎：您的意思是：外史研究必然是他们关心的关键主题之一？

李：对,更何况整个科学史在半个世纪以来受到人文方面各种思想的很大影响,比如爱丁堡学派所强调的社会建构论之类的思想。另外一个迫切的问题是地球上复杂的大型科学问题,这并不是以前那种如大型粒子对撞机一样的问题,现在的问题本身就是一个大幅度问题,比如大气气候,不是任何单一学科能够了解的。这种问题对人和社会的影响如何,公民的意见怎么容纳进来？比如现在大陆的公共事务决策,一般是专家觉得行就行(即专家决策)。但世界上有些国家就不是这样,不能只是单方面依靠科学因素。这里面还有一个选择性,虽然说某种技术是可行的,但可能生活上并不是必需的。那么公民的意见怎么参与进来,这就需要在处理过程中吸取历史经验和教训。“古为今用”不是纯粹为了政治目的,而是指吸取前人发展的过程和经验。虽然古代不见得有现在面对的同样事情,但可以考察在不同情境里古人面对的状况是什么,应该有很多值得研究和吸取的经验。那么这种研究一开始可能会碰到一些困难,也会面对各种压力,年轻人必须要应付这个；如果你看到知识本质的发展,就不会落在旧的窠臼里。如果你做的东西引起了别人兴趣,这个环境就会慢慢改变。如果总认为没有机会,那确实就没机会,因为你没做任何事!这个有点像数学里面的连续函数,小范围看没什么变化,但是大范围改变很厉害,就是如此。

阎：这里面有积累效应。

李：对。我为什么对近现代数学史有信心,就是因为有了历史素养。

阎：我感觉您非常乐观!

李：对啊,以前台湾与外面、与西方也是隔绝的,可是很多年以后,回过头看看那些发表的文章,离西方的主流也没有很远。虽然我们专业上还拿不出成绩和建树来和西方对比,但可以印证一下自己的想法,也并不是太离谱,主要是因为核心部分都在合理地发展。那么年轻的时候应该更广泛地培养自己的文化素养,才会对事情有敏锐的判断!

阎：德国著名数学家、数学史家克莱因(Felix Klein,1849～1925)*德国数学家、数学史家、数学教育家,1872年提出埃尔朗根纲领用群论的思想统一几何学,对数学产生了深刻影响。克莱因的许多观点至今仍然对数学家、数学史家有所启迪,他的《高观点下的初等数学》被译为多种文字,影响至今不衰。特别请注意将德国数学家F.Klein与美国数学史家M.Kline区别开。在19世纪末的几次演讲中提醒数学家在面对算术化(arithmetization)大潮时要时刻保持清醒,不仅要注重数学逻辑,也要充分认识到数学直觉的重要作用。您在上个世纪末也出版了一本书《一条画不清的界线》,提醒人们要从知识架构、时间演化、人的行动三个维度来理解和把握数学及科学。您特别提到：“对科学这个知识系统加以肯定,少不了实证意义外的信念成分。”我觉得从某种意义上讲,这种“信念成分”与克莱因所强调的“直觉”有异曲同工之妙。但克莱因只提到数学,而您的提法涵盖范围更广泛。

李：首先我先澄清一下,克莱因讲的直觉和我讲的信念其实是两个不同的方向[5,6]。如果让我讲直觉,我有别的看法。我当初那个文章主要是针对台湾一般科学界,并特别将信念跟信仰分开来,这在西方就是科学跟宗教。当时台湾闹得很凶,一些人比较倾向于宗教式想法,有人就认为科学跟宗教是完全对立的。我觉得不是对立的,我为什么那样讲？举一个最通俗的例子,你站在海边,远处是海,这边是陆地,很清楚,对吧？但是海的边上海水进进出出,哪里是边界？陆地跟海洋的边界是不清楚的!所以,科学跟宗教中间有一个“暧昧”的界限。特别是我讲到了科学的信念,其实科学家也有很多没有被审视过的信念在支持着他们做事。比如最简单的相信宇宙是可理解的(comprehensible),没有这个信念还做什么？当然这还不是可知论和不可知论,如果你不接受这个信念,整个就会是混沌一片。有这个信念,你就相信今天怎样,明天不会突然变等等。数学研究当然是科学研究的一部分,也会有一些没有被检验过的信念。人的头脑中如果没有一个框架是没有办法去做研究的,你需要大概知道是在什么框架和条件下做研究。

阎：您刚才提到如果研究确实让知识发生了一些本质变化,从历史发展来看会得到承认,但可能年轻人眼光和修为还不够,您觉得是否有必要讲一下,让年轻人有时间回头看看老前辈的研究,再审视一下自己,对当下以及将来有更客观和大范围的分析。

李：讲是讲,但是有用没用很受环境影响。年轻人呢,社会大环境(导致)的压力很大,很值得同情,也可以理解。不过也不能只唱高调,年轻人某种程度上也需要迎接那些挑战,但是学术研究最后剩下的绝对不能只是那些应付!因为你不断地应付,不断有论文出来,尤其是跟人文结合的研究,就会越做越琐碎。数学研究也是一样,你跟着人家到末端去做研究,很辛苦但不见得做出来什么价值,也不见得特别有启发。当然如果你连前面说的那些都应付不了,那就没什么办法了。在磨练了自己之外,还是要听从自己的内在召唤。年轻人,特别是搞历史研究,不积累广泛的人文素质是不可能走远的,最后也不可能有真正见识。所以,对年轻人施加太多压力,让他发表论文之类的实在是不好的。想想看中国近代有名的陈寅恪先生,什么时候才开始发表论文啊？很晚很晚,但是大家都崇拜他敬仰他的学问,那都是前面的积累。

年轻时发表一些文章,也是磨练、模仿和练习的过程,但最主要的是周边素养,不仅是读书的涵养,更要有历史眼光。做研究其实跟生活和做人都有关系,我并不是唱道德高调,而是说真正的做人要放在人的脉络里面去品尝和理解事情的发展。除了要有同情心以外,还要有一种分离开的冷静态度。对于历史研究,包括数学史和科学史在内,成长是一个非常重要的境界。十几岁之前大概太年轻,不行。二三十岁的时候正好学术研究刚刚开始,这时如果发表论文之类的压力太大,研究就会搞得很零碎。没有文化的积累就不可能有见识来看到大问题,永远是捡人家发展之后的问题去做。我们经常会讲：问题提到关键点上才能有真正贡献。如果问题都是从人家那里来的,就只能做微枝末节的研究,怎么可能有真正创见？年轻人如果内心真要走历史研究这条路,就要有这种雄心壮志和沉得住气的境界。开始要稳一点,可能一时不如其他人论文那么多,但是要沉住气,积累到一定程度,长远发展一定是好的。这是人生自我的一个取舍,就看每个人对自己人生的期望如何。不管世界怎么功利,不同文化里总有一些人在坚持。比如证明庞加莱猜想的俄国人佩雷尔曼(Grigori Perelman,1966～)*俄罗斯数学家。2003年佩雷尔曼证明了瑟斯顿几何化猜想从而证明了庞加莱猜想。2006年佩雷尔曼被授予菲尔兹奖,但他拒绝了该奖项。,当然不是要每个人都做到他那种程度,但是(我常常讲)这个叫做“存在证明”,也就是说这样坚持下来的人是存在的,也是可以成功的,你不能说全部不行,这就要看自己的选择是什么方向。

致谢承蒙李国伟研究员及“中研院”数学研究所的邀请与资助,笔者得以在该所访问并对李国伟研究员进行访谈；李先生多次对本谈话稿进行深入细致的审查和修改,笔者从李先生谈话及稿件修改中受益良多,在此表示诚挚的谢意!

1 Rota G-C.IndiscreteThoughts[M]. Boston: Birkhäuser, 1997.

2 Lih K-W. Sperner Families over a Subset[J].JournalofCombinatorialTheory, Series A, 1980, 29(2):182～185.

3 李国伟. 证明的流变：一个数学哲学与数学史的综合观察[J]. 台湾哲学研究, 2000, 3: 1～22.

4 郑毓信, 李国伟. 数学哲学中的革命[M]. 台北：九章出版社, 1999.

5 李国伟. 一条画不清的界线[M]. 台北：新新闻文化, 1999.

6 Klein F. The Arithmetizing of Mathematics[J].BulletinoftheAmericanMathematicalSociety, 1896, 2(8): 241～249.

ABSTRACTProfessor Lih Ko-Wei (1948-) has worked in fields ranging from mathematics to philosophy, history and sociology, and made many outstanding contributions in the popularization of mathematics. In this interview, Professor Lih focuses on several key issues: how to carry out research on the history of mathematics, how to sort out the relationship between research on mathematics and its history, and how to understand them from a methodological perspective．

KeywordsOral history, mathematics, history of mathematics, philosophy of mathematics, methodology, Lih Ko-Wei

FollowingtheInnerCalling:AnInterviewwithLihKo-Wei

YAN Chenguang

(DepartmentofMathematics,SchoolofScience,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang050018,China)

N092∶K826.1

A

1000- 0224(2017)03- 0426- 13

2017- 02- 04；

2017- 05- 12

阎晨光,1977年生,河北省内丘人,副教授,目前主要从事近现代数学史的研究。

河北省软科学研究计划项目(项目编号：164576156D)