试论椭圆问题的三个模型、两个意识、一个公式

郎砺志

摘要：本文的主要工作是通过大量习题，提炼出椭圆问题的三种解题模型，两个解题意识，推导出一个常用的解题公式，并引导读者可以将类似的结果推广到双曲线和圆中，从某种程度上形成系统化的圆锥曲线知识，启发读者背诵进而在解题中灵活使用，从而提高读者解决圆锥曲线客观试题的能力。

关键词：焦点三角形；顶点三角形；离心率；中点弦公式

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2017）07-0235-02

圆锥曲线和函数的导数是广大高中同学公认的难点，尤其是圆锥曲线问题，本文的主要内容针对圆锥曲线的离心率问题，从大量习题中找寻些许共性，试图帮助同学们找到解决离心率问题的钥匙。

模型1.焦点三角形

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），F1，F2是其左右焦点，F1（-c，0），F2（c，0），c2=a2+b2，P为此椭圆上任意一点，若P，F1，F2不共线，则称ΔPF1F2为此椭圆的一个焦点三角形，它拥有面的基本性质：

（1）ΔPF1F2的周长为2a+2c；

（2）SΔPF1F2=c|yp|=12PF1gPF2sinθ=b2tanθ2；

（3）离心率e=sinθsinα+sinβ；

（4）cosθ≥1-2e2

下面是关于（3）（4）的简证：

（3）的证明：e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα+sinβ（正弦定理）

（4）的证明：cosθ=PF12+PF22-F1F222PF1PF2=（PF1+PF2）2-2PF1PF2-F1F222PF1PF2=4a2-4c22PF1PF2-1≥4a2-4c22（PF1+PF22）2-1=4a2-4c22a2-1=1-2e2（PF1=PF2=a時取等号）

模型2.顶点三角形

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0）如图所示，称ΔPA1A2为此椭圆的一个顶点三角形则：KPA1gKPA2=-b2a2

证明：设P（x0，y0）是此椭圆上任意一点（异于A1A2）， A1（-a，0），A2（a，0）

KPA1gKPA2=y0x0-agy0x0+a=y0x02-a2

而x02a2+y02b2=1，∴y02=b2（1-x02a2）=b2（a2-x02）a2代入上式可得：KPA1gKPA2=-b2a2

此结论可以推广如下：

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0）如图所示，若AB连线经过原点，P为椭圆上异于AB的任意一点，总有KPAgKPB=-b2a2.

下面证明一下上面这个结论，

引理（中点弦公式）设M（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1弦AP（AP不平行y轴）的中点，则有：KAP·KOM=-b2a2.

证明：设A（x1，y1），P（x2，y2），则有KAP=y1-y2x1-x2，x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1

两式相减得：x12-x22a2+y12-y22b2=0整理得：y12-y22x12-x22=-b2a2，即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=-b2a2，因为M（x0，y0）是弦AP的中点，所以KOM=y0x0=2x02y0=y1+y2x1+x2，所以KAP·KOM=-b2a2

由于B与A关于原点对称，利用中位线定理，可以获得上面的结论。

模型3.平行四边形模型

如图，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），F1，F2是其左右焦点，直线AB过原点，则四边形AF1BF2是平行四边形（利用椭圆的中心对称性很容易证明）

下面结合例题来谈谈解椭圆问题的两大意识。

【例1】椭圆C：x29+y24=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别是A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=________。

解析：如图，本题题干咋一看十分棘手，因为题中的许多点都不一定在椭圆上，但仔细分析，出现了许多中点，所以我们使用一个基本原则：

中点中位线原则，事实上，|AN|+|BN|=2（|IF1|+|IF2|）=4a=12.

【例2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=45，则C的离心率为______。

解析：本题中的题干叙述与其他题的显著不同是没有涉及右焦点，所以解题时需要明确另一个解题意识：双焦点同现原则，事实上，设F2为椭圆的右焦点，结合余弦定理可知|BF|=6，因此四边形AFBF2是矩形，由矩形的性质，2c=|F1F2|=|AB|=10，2a=|AF|+|AF2|=|AF|+|BF|=14，e=2c2a=57.

从大量习题中提炼出来的三模型，二意识，一公式在实践的检验中颇有建树，未来还有两个提升能力的方向：一.在平时的训练中有意识地识别三种模型，贯彻解题意识和使用重要公式；二.将本文的主要内容推广到圆和双曲线上，同时继续探究焦点在 轴时的情况，如果能够独立完成上述两个问题，那么你的解题能力一定会有一个质的突破，所谓高中数学的难点就不再是难点了。