换元思想在数列中的体现

张子玥

摘 要 换元思想是一种重要的数学思想，通过将一元或多元多项式用一个新元来代替表示。通过换元，可以使求解的题目达到化繁为简的目的。换元思想在高中数学中运用广泛，作为一类有效的解题方法，在数列中体现得极为明显。本文结合换元思想在数列中运用的常见题型进行举证。

关键词 换元思想；高中数学；数列

中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）17-0090-02

换元思想具体指的是在数列题的解答中，将某个结构复杂的式子看成一个整体，用一个变量来表示这个式子。换元又称辅助未知数法、变元代换法，换元的实质是构造元和设元。通常可以化分式为整式，化无理式为有理式，从而使复杂的问题简单化、明朗化。换元法的广泛应用显示了换元思想在高中数学中的强大地位，也显示这一方法对于高中数学学习的重要程度。

换元法是解决数列问题常用的数学方法。合理地进行换元，能凸显隐含条件，沟通复杂代数式间的关系。换元思想的关键是选择合适的换元对象，确定合理的换元方式可以把数列题变的简单。换元思想主要应用在数列的通项公式、数列求和等问题中。下面将介绍几种常用的在数列中的换元思想。

1 整体换元

整体换元是指在题目的已知或未知中，某个代数式或多项式几次出现。为了减少题目的复杂程度，需要用一个变量（如一个字母）来代替它，从而简化问题，有时候还需要通过适当变形，才能发现可被换元的整体。

1.1 简单数列题目中的整体换元

例1.计算（a1+a2+…+an-1）（a2+…+an）-（a2+…+an-1）（a1+a2+…+an）

此题如果多项式逐一乘开，计算过程将变得非常复杂。阅读题目，我们可以发现，几个多项式中均有一个相同部分a2+…+an-1，这时如果考虑应用整体换元，运算起来会方便许多。

设a2+…+an-1=x

则原式可转化为（a1+x）（x+an）-x（a1+x+an）

在经过化简，可得出结果为a1，an

本题利用整体换元，把a2+…+an-1当成一个整体带入原式，化复杂多项式为简单多项式。这样问题就能被快速解决，不仅提高了做题效率，还大大减少了做题时间。可见整体换元在数列问题中十分常见。

1.2 復杂题目中的整体换元

当所求数列形式较为复杂时，也可以利用换元思想。以下是几种常见整体换元的模型。已知数列的递推公式，求通项公式时，如果数列的递推公式形如：

an-1=an+pan-1an（p≠0）

则可以进行化简成，这样数列就转变成{}的等差数列，先求出此数列的通项公式，再进行转换，即可求出an。

当递推关系为an+1=pan+q（p，q为常数，p≠1）时，可对此数列进行适当变形成把括号里的式子当成整体，得到一个新的等比数列，求出此等比数列的通项公式，即可求出原数列的的通项公式。形如：an+1=pan+qn（p，q为常数，且q≠0）的数列也可以用上述换元思想进行代换。

例2.已知p≠0，数列{an}满足：a1=2，an+1=pan+1-p（n∈N*），求数列{an}的通项公式。

解：∵an+1=pan+1-p（n∈N*）

∴an+1–1=p（an-1）（n∈N*）

∴{an-1}是以2为首项，p为公比的等比数列

可得an-1=pn-1

所以an=1+pn-1

整体换元思想在高考中是一种常见的解题思路。这类问题的处理方法是将一个复杂数列，往特殊数列进行转化。先求出特殊数列的通项公式，进而得到原数列的通项公式。

利用换元思想解决数列问题时，要遵循数列的一般原则，在对元进行转化时要注意定义域是否发生变化。

2 倒数换元

在高中数学中，倒数换元也是一种常见的数列换元方法。一般是将数列已知条件的分式化为整式，进行换元计算。

例3.已知数列{an}中，a1=-1，an+1an=an+1-an，求数列{an}的通项公式？

对于此类数列问题，我们可以把已知条件进行适当变形，构造出一个新的数列，通过求此数列的通项公式，即可求得原数列的通项公式。

解：an+1an=an+1-an

设数列{bn}是以b1=-1为首项，公差为d=-1的等差数列

由此可以看出，通过倒数换元可以化分式为整式，把原来繁琐的分式结构进行转换，通过计算整式来求分式，大大缩短了做题时间和题目难度。倒数换元也是数列题中常出现的一种换元技巧。

3 对数换元

当数列中出现对数或有指数时，可以把已知条件通过适当变形，再进行对数换元进行求解，一般两边去对数。但要注意的是，去对数之前，要注意对数运算的基本原则，保证数列各项系数均为正数，才能进行对数换元。

例4.已知数列{an}中，a1=4且满足an+1=an2，求数列{an}的通项公式。

观察通项公式可以发现项与项之间存在对数关系，对式子进行变形

log4an+1=log4an2=2log4an则可以求解。

4 三角换元

三角换元在数列中也经常出现当数列的递推关系中有根式或两项的平方为一特殊定值时，如

可以考虑运用三角函数的换元思想来解答数列问题。三角换元主要应用三角函数的特殊性质，对复杂的数列问题进行特殊转换，利用代数式与三角函数之间的关系进行换元。代数问题作三角代换，转化为三角问题，便于应用三角函数的有关公式，性质等解决问题。

常见三角函数关系如下：

倒数关系：①tana cota=1；②sina csca=1；③cosa seca=1；

商数关系：①tana=；②cota=；

平方关系：①sin2a+cos2a=1；②1+tan2a=sec2a；

③1+cot2a=csc2a；

例5.已知数列{an}满足a1=a，an+1=2an2-1，求数列{an}的通项公式。

观察数列的递推公式，不难看出an+1=an2-1很像，所以，可以把数列问题转换成三角函数进行求解。设，可以得出。

例6.已知数列{an}，（n≥2，n为正整数）求数列{an}的通项公式。

解：通过计算a2，a3，a4等，观察出数列{an}的极限是2

所以可用不动点方法解

解得x=1或x=2均不合题意

由此可以看出，如果数列的递推关系式能用三角函数关系进行转化，就可以考虑用三角代换的方法。运用高中所学的三角函数的基本性质，进行换元化简，使数列难题变得简单。

5 结论

本文主要介绍换元思想中的整体换元、倒数换元、对数换元、三角换元在数列中的应用。通过换元思想引入新的变量，可以把分散的已知条件清晰地联系起来，也能使隐含的条件渐渐显露出来，使条件与结论之间有更直接的联系。换元思想能使数列中复杂和陌生的数学表达式变的简单和熟悉，使数学表达式得到简化，表达式间的逻辑关系更加清晰，使抽象的代数式更为具体。可见，换元思想是数列题中的一种常见思想。

参考文献

[1]高桂华.浅谈换元法在高中数学中的应用[J].中国校外教育，2011（S1）：57.

[2]杨芳，王德刚.求数列通项公式的几种常见类型及其处理方法[J].中国校外教育（理论），2008（9）：127.endprint