一道高中学业水平考试题的解法与推广

唐钰淇

【摘要】数形结合是一种重要的数学思想，数形结合问题在高考中经常出现。文章以一道高中数学学业水平考试试题为例，提出此问题的几种常用解法，并将该问题推广到一般情形，得到几个基本结论。

【关键词】高中数学；数形结合；代数法；几何法；三角函数法

2017年湖南省高中学业水平考试数学试卷最后一题为：如图1，过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、、、，求的最大值。

一、几种解法

解法一：代数法

设直线的方程为，与圆的交点为、，满足，即，由韦达定理有

，，

则，，

①

直线与直线垂直，设其方程为 ，与圆的交点为、.类似可推得

②

由①和②有

③

当时，上式右边取得最大值，即最大值为.

另外，也可由①和②得

④

根据基本不等式有

即的最大值为4，此时，，两直线与轴的夹角均为45度.

解法二：几何方法一

如图2，设圆心为，连接、、、，作交于点E，交于点，则点、分别是、的中点. 由于，则四边形是矩形.

故，

则.

由基本不等式有.

解法三：几何方法二

如图2，根据圆的切割线定理，有

即⑤

因为OEPF为矩形，故

即⑥

由⑤⑥可得，则

从而可得.

解法四：三角函數法

如图2，设，

则，

则

⑦

当时，式⑦右边取得最大值1，即最大值为1，故的最大值为4.

二、一般情形推广

将此问题推广到一般情形如下：

问题：过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、和、，求的最大值.

解：如图2，设直线与直线的方程分别为和，与圆的四个交点分别为、、、.参照解法一，可得

，，

，，

，

，

我们不难得到

且必须满足.

根据基本不等式，的最大值为.

同时还得出如下结论：

结论1：、两线段中点连线的长度为定值，等于原点到圆心的距离.

证明：、两线段的中点分别为、.则

.

结论2：、两线段中点连线的中点，与原点和圆心连线的中点重合.

证明：设原点和圆心连线的中点为，的中点为，则

，

因此的中点坐标与点的坐标相同.

根据结论2可以得出：

推论：、两线段的中点均在以为圆心，半径为的圆上.

结论3：等于连线所围区域面积的2倍.

证明：（1）当，即原点在圆之外，如图2，连线所围区域即阴影部分.

则.

（2）当，即原点位于圆内，如图3，所围区域为圆内接四边形.

（3）当，即原点位于圆上，、与原点重合，所围区域为直角三角形，因此 .

三、结束语

数形结合问题一般可以采用代数法、几何法、三角函数法求解，也可运用几种方法联合求解。在学习中，我们要根据实际情况灵活运用。对于某些具体问题，我们可以通过推广拓展至一般情形，从而更深入地分析和解决问题。endprint