复习课，其实可以更精彩

周太平+吴小燕

摘要：正值中考复习阶段，如何构建有效的复习课堂是作为毕业班数学教师最关心的问题.结合优秀复习示范课案例和对九年级学生的思维研究，本文从数学思想、数学解题方法、数学基本解题模型以及最优问题串等角度阐述了数学复习课堂的有效构建.追求创设既可以有效进行知识点的复习、又能培养学生的思维品质、还能丰富数学复习课堂内容的高效复习课.

关键词：复习课；思维；基本数学思想、方法；课堂生成.

数学复习课是数学课堂教学的重要组成部分，设计合理、组织科学、教学有效的复习课不仅有利于学生对知识的理解、记忆和应用，培养学生良好的行为习惯和思维品质，而且有利于全面提高教学质量.复习课要使得不同层次的学生在整节课堂中保持旺盛的求知欲，要使得每位学生各取所需，使得每位学生在课堂上得到不同程度的发展，这是很多教师都很头疼的问题.

复习课怎么上才有效，既能使得四基得到落实，又能提高学生的能力，这是我们一直在思考的问题.可是目前数学复习课的现状是，很多数学复习课上，教师的设计没有正视学生原有数学基础的差异、没有遵循学生思维的特征，致使部分学生上课感觉很多内容“似曾相识”缺乏热情，而另一部分学生感觉到难度太大而享受不到成功的喜悦和快乐.作为一线教师，不仅要深刻认识复习课的特点，遵循复习课的基本原则，更要研究学生的思维特征，遵循学生的思维特征，“以学为中心”组织复习课堂教学，增强复习的有效性.结合两篇实际教学案例，谈谈数学复习课堂的有效组织.

案例1：《等腰三角形复习》

题组1：（1）等腰△ABC中，若腰长AB=5，底边BC=6，则周长为_______；

（2）等腰△ABC中，若两边长为5和6，则周长为_________；

（3）等腰△ABC中，若两边长为12和6，则周长为________.

题组2：（1）等腰△ABC中，给一个内角的度数，求另两个内角度数；

（2）等腰△ABC中，若一个内角为50°， 则顶角∠A=_________度；

（3）等腰△ABC中，若一个内角为100°，则顶角∠A=_________度；

（4）等腰△ABC中，若一个外角为100°，则顶角∠A=_________度.

题组3：（1）点P从B向C运动，当点P运动到BC的中点时，连结AP，AP是△ABC的什么线？

（2）点D是AC上任意一点，你能否在AP上找一点M，使CM+DM最小？

（3）点D在什么位置时BD最短？若AB=5，BC=6，你能求出此时的BD吗？

（4）若∠ABP=40°，则∠A=_______度.

（5）若没有出示图形，等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则∠A=_______度.

題组4：（1）点P在直线BC上运动，当点P运动到什么位置时，△ABP是等腰三角形？你能画出这样的P点吗？

（2）若给点A一个坐标，你能求出P1，P2，P3，P4各点的坐标吗？

评析：等腰三角形中关于边、角、和线段的结论很多，计算类型也很多.本节课复习教师从最基础的两腰相等这个知识点出发，一步一步扎实推进，将零散的知识点系统地串在一起进行复习.其中明线是等腰三角形的形状、性质及相关计算，蕴含在整个复习过程中的是分类思想和基本的解题方法渗透，效率很高.

案例2：《特殊平行四边形的存在性问题》

引例 如图，A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）.

问题1： 若A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，

则这个平行四边形第四个顶点的坐标为 ；

问题2：若A、B、C为一个菱形的三个顶点，

则这个菱形第四个顶点的坐标为 ；

归纳1：菱形存在性问题可转化为____________________.

例.如图，已知平面直角坐标系中点A在x轴正半轴，点B在x轴的负半轴，点C（0，4），且OA=OC，tan

∠BCO= ，把抛物线y=ax2+bx+4过A，B两点，点P是抛物线对称轴的一个动点.

问题3：求A，B两点坐标及抛物线的解析式；

问题4：点Q是坐标平面内的动点，若存在点P，Q，使以B，C，

P，Q为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标为 .

变式1：点Q是坐标平面内的动点，若存在点P，使以B，C，P，Q为顶点的四边

形为矩形，则点P的坐标为 .

归纳2：矩形存在性问题可转化为

.

问题5：若要求出变式1中点P对应的点Q的坐标，怎样求比较好？

问题6：是否存在使以B，C，P，Q为顶点的四边形为正方形的点P？若存在，此时△BCP是

归纳3：正方形存在性问题可转化为 .

变式2：在“变式1”的条件下，若把直线BC向右平移M （M>0）个单位，分别与x轴，y轴交于B′，C′，使以B′，C′，P，Q为顶点的四边形为正方形，求M的值.

评析：存在性问题是学生感觉非常头疼的问题，也是压轴题型中常见的问题.教师在组织这个专题复习的时候，很巧妙的将平行四边形、矩形、菱形、正方形的存在性问题用特殊三角形联系在一起，转化思想展现得淋漓尽致，基本图形和基本方法不断的为学生所发现和运用，课堂上学生生成亮点频出，也是一节非常精彩的复习课.

通过对这两节高效复习课堂的分析，我们不难发现，一节优质高效的数学复习课，一定是一堂顺应学生思维过程遵循学生思维规律的课堂.它既能帮助学生回顾并应用所学知识，又能使得学生在对数学知识的认知深化和提高，更有着数学基本方法的提炼与总结、有着对数学思想的升华和思维能力的提高.从学生的思维角度，我们也可以让数学复习课堂更加精彩.

（一）挖掘数学基本思想方法，引领课堂复习思路

数学思想方法是数学的灵魂和精髓，在学生能力培养上，数学思想方法比具体的数学知识更有意义.而数学思想方法属于程序性知识，它不能仅仅靠告知获取.这就要求教师在复习课上，不能仅仅将课堂停留在知识的表面，而应当引导学生体会数学思想方法，把知识转化为能力，经历知识的思想过程，促进知识的内化，从而提升学生的思维水平.初中阶段有很多的数学基本思想：分类讨论、数形结合、化归、从特殊到一般、图形变换等等.在案例1中，教师组织教学的暗线就是分类讨论思想.在设计到等腰三角形的边是底边还是腰上，在等腰三角形的角是顶角或是底角上，在等腰三角形的高线的位置是在三角形内部、腰上还是底边上等，都用到了分类思想.整個教学一气呵成，学生在知识点的复习上落到了实处且不枯燥，在能力的培养上也做到了“润物细无声”.

让学生不断地提炼和积累解题的思想方法和规律，并自觉地应用数学思想方法和规律指导解题实践，是学好数学思维的必经之路.在复习课的组织教学中，教师可以利用一些有代表性的问题串进行“多知识点小综合”的专题训练或者典型的综合题进行教学.

结合我们近几年的压轴题进行分析，我们不难发现，问题的载体主要有：三角形、四边形、圆或者双曲线、抛物线等，抽丝剥茧后发现都是以基本几何图形为载体加以运动变化而编制的着力承载考查学生的“数学发展水平”的题目.这里的数学发展水平便是指学生用数学思想方法分析问题和解决问题的能力；指的是学生养成的数学素养；指的是学生积累的数学经验和方法；指的是学生对知识之间的内在联系的认识水平.《新课程标准解读》提出的“数学基本思想”是数学素养的重要标志，尤其是综合的复习课，教师不仅仅只让学生学到知识，学会技能，更要让学生体会知识与技能后蕴含的数学基本思想，从而引领整个复习课的思路和方向.

探究这些题目的方法，不难发现几何要考查和研究的核心问题就是全等和相似变换，其余问题都可以化归为这两种变换.例如常见的旋转变换和轴对称变换就是全等变换，而相似变换，可以延伸为平移变换，构造相似的基本图形.要在图形变换的思想引领下不断作出猜想并加以验证.由于旋转中心、旋转角度、对称轴、平移的直线可能不唯一，这在思路上既是机遇又是挑战.这些需要教师在复习课中加以强化引导，让学生也能够体会到数学思想方法的多样性与统一性的融合.

（二）梳理数学基本模型，优化课堂复习效果

数学模型是思维的支撑点，也是知识的附着点.学生对数学概念的理解和抽象都是针对一定的模型进行的，概念模型不仅是数学概念的典型样例，而且是数学概念表征的重要方式；数学模型的建构过程中，新模型与原有模型之间往往具有一定程度的相似性，这种相似性使数学模型成为数学推理的支撑点.“数学模型承载数学信息，对数学模型的结构、特征和关系的观察、归纳、类比和逻辑思考构成了数学学习的核心活动，数学教育的核心价值在于发展学生的模型理解、模型建构和与之相联系的数学思维水平.根据学生的数学思维发展水平，设计适合于学生认知水平的数学模型理解、表征、建构和相互联系等数学操作和数学推理活动，是促进学生数学素养长远发展的有效途径.初中阶段所涉及到的模型分为代数模型和几何模型，代数模型如方程、不等式和函数模型，而几何模型涉及到基本图形的提炼和架构.把复杂问题简单化是数学最基本的精神，因此，整理和提炼基本图形，是把复杂问题简单化、直观化的有效途径之一.

例题：如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上.

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点.

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.

本题的背景有平面直角坐标系、抛物线、线段、四边形等，看似复杂，但认真研究分析不难发现题目中的“从特殊到一般的数学思想”和“两点之间线段最短”的“将军饮马问题”的几何模型，抽象出如图的图示。通过这样的抽象归纳过程，学生的直观思维得到提升；通过这一类题型的训练，复习效果达到优化.

（三）总结解题基本方法，延伸课堂知识长度

教师在复习课的教学中，重视解题方法的剖析，多问学生怎么想？如何做？方法是什么？还有其他解法吗？促使学生多归纳、多总结，帮助学生养成方法迁移、思维延伸的习惯，做到一题多解、一题多思，形成解一题会一类的能力.教师的任务就是在复习课堂上，找到典型的题目和题型，让学生能够有一题多解、一题多思的舞台.每堂复习课上都能不断的总结解题的基本方法，久而久之便能够延伸课堂上知识的长度，达到真正的学为中心，轻负高效.

已知：∠C=90，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC、AC、AB于点E、F、G，连接OE、OF. AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2.

（1）求⊙O的半径；

（2）求AB的长度.

求线段长度的方法有很多，通过复习、总结、归纳得出一般的思路：“见直角用三角（函数）”或者勾股定理；在两个三角形中，可以通过全等或相似进行转化；面积法等等.对这道题目，我们可以让学生尝试用多种方法来解决，在比较中得出最优的、最适合自己的方法.学生“做一题”，意在“会一类”，最终“通一片”，即“解题通法”，而解题通法是学生认知网格中不可缺少的部分.

（四）利用课堂动态生成，拓展课堂复习宽度

教学过程是师生之间、生生之间相互合作和交流的过程，复习课堂可以创设适合学生合作与交流的机会，提高课堂教学活动的效率，在课堂生成中拓展复习的宽度和广度.复习课堂同样要求教师要遵循——量力性原则：根据学生现有的基础水平提出教学要求，在每位学生思维的最近发展区组织教学.所以教师可以设置开放性的问题，利用课堂的动态的生成，让学生在互动的过程中不断提出问题、解决问题，从而达到智力因素和非智力因素的共同提高.

案例：《二次函数复习》

观察图像，回顾二次函数基本概念并回答下列问题：

（1） 这是什么函数？解析式是什么？如何求这个解析式？

（学生观察并回答，在求解析式的时候，学生可以用三种不同的解析式来进行尝试，可是因为缺一个条件，学生会产生疑惑，这个时候教师给出第2个问题，达到不愤不启的目的.）

（2） 你可以补充哪个条件能求出这个解析式呢？请你尝试给一个数据进行计算.

顾及到学生的个体差异，让学生编题，体验发现问题和提出问题的过程，真正做到以学生为中心，达到解决问题策略的多样化，在动态的生成中合理评价学生在解决问题过程中所表现出来的不同水平.从上课的效果上看，学生取点的方法很多，基本是以整点为主，在取点的过程中，能感受到学生对整个题目的思维过程.）

（3） 请针对你的解析式并结合图形，说说二次函数的基本性质（对称性、顶点、增减性、最值等）

（用一个图形将一些散落的知识点串接起来，在学生互相补充的过程中掌握了研究二次函数性质的一般思路，在認识图像的过程中，通过独立思考、动态生成逐步感悟到数形结合的作用）

（4） 在抛物线上有两点P1（x1 ，y1）P2（x2 ， y2），若x1< x2，则y1， y2的大小关系如何？

（5） 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的解是_________；

（6） 若关于的一元二次方程ax2+bx+c=k有解，则k的取值范围是_________.

（在解决这类问题时，有两种典型的做法分别是代数的解析法和几何的直观方法，两种方法在这里互相比较，相得益彰.）

（7） 若平行于y轴的动直线l与抛物线交于点P，与AB交于点F，点E的坐标为（-2，0）.问：是否存在这样的直线l，使得△OEF是以OE为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（经历复杂题目的思维过程，学生通过思考、探究、交流等活动，获得数学解题的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.）

认知心理学的核心论点是：学生是对认知结构的组织和再组织.学生有效学习的最终结果必然是在自己的头脑里构建富有成效的认知结构.教师组织开放性的、连贯的有效问题串，在动态的生成过程中，学生经历了比较、发现、联想等思维活动，有利于学生体会数学知识之间的有机联系，形成良好的认知结构，拓展了复习课课堂的宽度，从而达到高效的复习课堂.

复习课要体现“学为中心”，就要尊重学生的个体差异，遵循学生的思维特征，真正以生为本.既要充分发挥学生的主体地位，组织学生利用独立思考、合作探究、讨论交流等学习方式，提高学习的效率；又要发挥教师的主导作用，以渗透数学思想为引领、形成数学方法为目标、强调归纳、重视生成，这样的数学复习课也一样能精彩纷呈.

参考文献：

[1]《数学课程标准（2011版）》北京师范大学出版社2011年

[2]张奠宙 中国数学双基教学【M】 上海科技出版社 2006年

[3]伍友平 善用数学思想方法指导解题 中国数学教育【J】 2014年7-8期

[4]李文虎 初中数学教学活动设计案例精选【M】 北京大学出版社 2012年

[5]谢雅礼 以开放性问题打造高效数学复习课 中国数学教育【J】 2014年

作者简介：周太平（ 1979年）男，中学高级教师，浙江省嘉兴市油车港中学教师.秀洲区教学能手、区首届名教师、区学科素养核心组成员、嘉兴市学科带头人，主要从事数学教育与中学数学教学研究.

吴小燕（1980年）女，中学一级教师，浙江省上海外国语大学秀洲外国语学校. 秀洲区教学能手， 主要从事数学教育与中学数学教学研究.