巧用波利亚解题表提高学生自主学习能力

雒娟娟

摘要：本文通过“波利亚解题表”在章节整体教学中的应用一例，阐述了如何在课堂教学过程中创造性地使用此表，使得学生们在数学学习中不仅关注如何解题，更要学会解决问题过程中的思维方式，旨在抛砖引玉，找到能提高学生自主学习能力的平台。

关键词：波利亚；解题表；提高；自主学习能力

波利亚一生致力于解题思维过程的研究，最终他集数十年的教学与科研经验写成《怎样解题》一书，其核心是一张“怎样解题表”，它包括4个步骤：弄清问题，拟定计划，实施计划，回顾。

反思：

使用“怎样解题表”这一理论时，它的思维过程是一气呵成的，使用得当的学生会觉得解题就跟猎人打猎一般，先寻找猎物，再设计打猎方法，实施这个计划，好的方法以“习惯成自然”的方式沿袭下来，形成“打猎技巧”，最终成为一个好猎手。

解决策略：

实际上，学生在解决问题的过程中，四个步骤最关键的就是“拟定计划”的环节，这一环节设计的好坏、优劣，直接决定学生们解决问题的正确性及完备性，因此要解决学生们不会解题的问题，首先要打通这一环节。在我看来，“波利亚解题表”不仅仅是解题方法，更为我们提供了一个思维模式，下面以“反比例函数”这一章的教学设计为例进行说明。

第一环节：弄清问题

在波利亚解题表中，第一环节解释下来就是面对一道题，进行以下思考：（1）已知是什么？未知是什么？（2）条件是什么？结论是什么？（3）画个草图，引入适当的符号。由这个思路出发，在一章节开始的第一课，先上一节“章前导学课”，目的是完成“架桥”的第一步。沟通“已知”和“未知”之间的联系，弄清这一章节究竟要做些什么。

教学实录（摘录）：

师（出示章节题目）：从这个题目中你已知什么？未知什么？

生回答：已知这是一章跟函数内容有关的知识，未知的是反比例函数与以前学过的正比例函数、一次函数和二次函数的异同。

师：你先猜测一下，它们之间可能有什么异同？

生：相同之处是它们都是函数，都有函数的一般性质。不同之处可能是解析式不同、图象不同、性质也不同。

第二环节：拟定计划

在波利亚解题表中，第二环节解释下来就是面对一道题，进行以下思考：（1）见过这道题或与之类似的题吗？（2）能联想起有关的定理或公式吗？（3）再看看未知条件！（4）换一个方式来叙述这道题。（5）回到定义看看！！（6）先解决一个特例试试。（7）这个问题的一般形式是什么？（8）你能解决问题的一部分吗？（9）你用了全部条件吗？由这个思路出发，在“章前导学课”中，要帮助学生完成从“未知”到“已知”的转化，也就是如何“架桥”。

教学实录：

师：根据转化思想，我们要把反比例函数知识的学习与哪些知识相联系？

生：正比例函数、一次函数、二次函数

师：你能建立哪些联系呢？

生1：反比例函数与正比例函数一字之差，它们之间必然有很深的联系，而且与我们在小学中学习的正比例关系与反比例关系应该也相关。

生2：正比例函数、一次函数、二次函数及反比例函数都是函数，根据函数的定义，它们反映的都是在一个变化过程中两个变量之间的关系，而且都是一个变量随着另一个变量的变化而变化，从这一角度讲，它们之间有很大的关联。

师：在以往函数知识学习的过程中，你认为要研究函数的性质，首先要做什么呢？

生：画出函数的图象。

师：如何画出函数的图象？在画图过程中要注意什么？

生：列表、描点、连线，要注意函数的取值范围，还有取的点不能太少，否则看不出图象的性质。

设计意图：通过第一二环节，使学生在进行学习之前首先做到“知己知彼”，才能做到“百战不殆”。也才能让学生知道自己在接下来的课中要做什么，而不是盲目地跟着老师走。

第三环节：实行计划

在波利亚解题表中，第三环节解释下来就是面对一道题，进行以下思考：（1）实现你的解题计划并检验每一步。（2）证明你的每一步都是正确的。由这个思路出发，在课时教学中，要帮助学生完成计划中的每一步，使学生通过自己的努力解决学习过程中的重难点，从而习得知识并获得能力。

教学实录：

第一课时：反比例函数的意义

本课时重点是理解反比例函数的概念，会确定反比例函数的解析式。难点是反比例函数意义的理解。

第二課时：反比例函数的图象和性质（一）

本课时重点是画反比例函数的图象，并由图象理解反比例函数的性质。难点是对反比例函数图象特征的归纳分析，总结出反比例函数的主要性质。

第三课时：反比例函数的图象和性质（二）

教学关键是做到“结论学生找，规律学生议，错误学生析”，教师要做到“因势利导”，利用“问题串”的形式引导学生对问题不断剖析，使学生的思维始终处于一种积极状态，从而把探索的主动权交给学生。

第四课时：实际问题与反比例函数

本课时重点是让学生能从实际问题中构建反比例函数的模型，教学关键是以学生熟悉的实际问题为主线，让学生主动展开探究，寻找实际问题中两个变量之间的关系.

设计意图：在这一环节中，通过每个课时中重难点的不同，完成了第二环节中拟定的计划。

第四环节：回顾

在波利亚解题表中，第四环节解释下来就是面对一道题，进行以下思考：（1）检查结果并检验其正确性。（2）换一个方法做做这道题。（3）尝试把你的结果和方法用到其他问题上去。由这个思路出发，在本章节的最后一课，要上一节“章节总结课”，对一章所学的知识和方法进行整理和回顾，并进行反思。

教学实录（摘录）：

师：本节课，我们将进行章节总结，回顾反思一下本章节学习的知识，并进行小结，以利于知识的整理和巩固。首先，我们看一下，本章主要学习了哪些相关概念？

生：反比例函数的概念

师：本章有哪些重要结论：

生：反比例函数的三种表现形式、反比例函数的性质、k值的几何意义等。

师：本章有哪些题型？

生：（1）用待定系数法确定反比例函数的解析式；（2）画反比例函数的图象；（3）运用反比例函数的性质特别是k值的几何意义解题；（4）结合函数图象，比较函数值或自变量的大小；（5）反比例函数在实际生活中的应用；（6）反比例函数与其他学科的结合等。

师：本章有哪些易错知识点？你是怎样解决的？

生：（1）求反比例函数解析式时未考虑k的取值范围；（2）画反比例函数图象出错；（3）反比例函数解析式中k的几何意义弄错；（4）在实际应用中未考虑反比例函数的取值范围等。解决的办法是明确反比例函数的概念，对其三种形式的应用及互化要熟练；掌握反比例函数的图象的画法及性质；对不同的题型要多加分析等。

设计意图：波利亚认为：“学习从行动和感受开始，再从这里上升到语言和概念，最后形成该有的心理习惯。”在这一环节中，通过对一章节知识的整理与回顾，使得学生们能将所学的知识内化于自己的知识结构.

总之，波利亚的解题理论，不仅给我们提供了解题的方法，更为我们提供了新的思维方式，我们一定要从更广更深的方面去领会它。

参考文献：

[1]《数学的发现》【美】乔治·波利亚；刘景麟 曹之江 邹青莲译 科学出版社

[2]《义务教育数学课程标准（2011年版）》；人民教育出版社endprint